Mais uma Lista: Exercícios EsPCEx

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de $1$ a $9$ no quadrado $3 \times 3$ a seguir, substituindo as letras de $a$ a $i$ , de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é $S$ e a soma das três linhas é a mesma, valendo $k$ , teremos:

$a + b + c = d + e + f = g + h + i = k$

Portanto:

$(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}$

O que mostra que, se os números são naturais, $S$ deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de $3$ , já que são $3$ linhas. Como temos os números de $1$ a $9$ , sabemos que:

$1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45$

Que nada mais é que a soma dos $9$ termos de uma P.A. de razão $1$ . Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, $15$ .

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de $1$ a $9$ como segue:

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Vemos claramente que:

$1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5$

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale $5$ , fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a $10$ . Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra $e$ , pois veja que, se temos:

$a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h$

Teremos:

$a + i = d + f = g + c = b + h$

E, além disso, $a + b + c = g + h + i$ , limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares $(a,i)$ , $(d,f)$ , $(g,c)$ e $(b,h)$ sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra $e$ , ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser $5$ . Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

$(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Confira no “quadrado mágico”:

$\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}$

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de $a$ a $i$ e que a soma das linhas vale $k = \frac{45}{3}$ , portanto, podemos montar o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\ d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.$

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação $a + b + \ldots + h + i = 45$ é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular $e$ , vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar $c$ , encontrando $c = 15 - (a+b)$ e substituir este resultado nas demais:

$\left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar $d$ na primeira, obtendo $d = 15 - (e + f)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + 15 - (e + f) + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Agora, faremos o mesmo para $i$ , escrevendo $i = 15 - (g+h)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + 15 - (g+h) = a + b \\ a + e + 15 - (g+h) = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ a + b + g + h - f = 15 \\ a + e = g+h \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Vamos agora, isolar $a$ na primeira, obtendo $a = e + f - g$ , (haja paciência…!):

$\left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + f - g + b + g + h - f = 15 \\ e + f - g + e = g+h \\ g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

Substituindo a terceira na segunda:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = b + h \\ \end{array} \right.$

Comparando as duas teremos $3e = 15$ , portanto, $e = 5$ . Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de $b+h =10$ , mas não os valores de $b$ e $h$ individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

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Sobre o Produto dos Termos de uma P.G.

Olá leitores.

Estou passando aqui rapidamente, neste fim de domingo, para deixar um material que fala sobre as fórmulas que calculam o produto dos termos de uma progressão geométrica.

Você pode baixá-lo aqui:

Consideracoes_Produto_Termos_PG Baixar

Deixo aqui também um vídeo falando sobre o assunto:

E também o rascunho de uma apostila sobre progressões geométricas:

Progressoes_Geometricas_Apostila Baixar

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Mais de 500 Exercícios da EEAr!

Olá leitores,

por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.

Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:

apostila_eear_assuntos-1 Baixar

Espero, de verdade, que isto te ajude a alcançar seus objetivos!

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Um Simulado Modelo EEAr

Olá leitores,

segue um pequeno simulado de matemática no nível da EEAr. Depois de fazerem as questões, podem dar uma olhada no gabarito das questões no arquivo deixado aqui.

Para fazer o simulado clique no link a seguir:

SIMULADO 1 — EEAr

Como disse, depois que fizer, veja as questões a seguir e seus gabaritos:

Simulado_EEAR_1 Baixar

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150 Exercícios de Matemática!

Olá leitores.

Se você sempre vem aqui ao site, já deve ter percebido que ele está mais movimentado e, de fato estamos em uma nova fase.

E, continuando esta nova empreitada, quero deixar aqui uma lista de exercícios com 150 exercícios de matemática de assuntos diversos, pra você se divertir ao longo desta semana.

Sem firulas e demoras segue a lista.

lista_gerais_1 Baixar

Aproveite então. Estude e mande suas dúvidas e, conforme forem chegando, vamos colocando resolvidas aqui como já fizemos para outros parceiros.

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Matrizes Inversas: Use a Definição!

Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que $A$ , $B$ e $I_n$ são duas matrizes quadradas de ordem $n$ e a matriz identidade de ordem $n$ , respectivamente. Então:

$A \cdot B = B \cdot A = I_n$

A matriz $B$ é chamada de matriz inversa de $A$ e podemos escrever $B = A^{-1}$ . Assim:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$

Com isso, podemos mostrar que a inversa de $A$ é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas $A$ e $B$ , de ordem $n$ , tais que $A \cdot X = B$ , quem é a matriz $X$ que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz $A$ , sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B$

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por $A^{-1}$ . Como $A^{-1} \cdot A = I_n$ , da definição de inversa, podemos escrever:

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B$

Assim já temos a matriz $X$ , uma vez que basta inverter a matriz $A$ , se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de $C$ , a matriz das incógnitas de $X$ e a matriz resultante de $R$ , tendo assim a equação a seguir:

$C \cdot X = R$

Mas, como já vimos:

$C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot R \Rightarrow X = C^{-1} \cdot R$

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

$X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]$

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de $C$ pela matriz coluna $R$ :

$X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]$

Como as duas matriz são iguais, teremos $x = 2$ , $y = 3$ e $z = 1$ , opção E.

E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?

Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:

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Pontos Notáveis de um Triângulo: Incentro

Olá, nesta postagem queremos trazer um exemplo de problema que exige o conhecimento, mesmo que básico sobre os principais pontos notáveis do triângulo. Em particular, estamos falando sobre o incentro. Em vez de apenas resolver o problema, queremos falar um pouco sobre este ponto notável, aproveitando como uma revisão básica.

Por definição, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo. As bissetrizes internas de um triângulo são segmentos que tem um extremo sendo o vértice do triângulo e o outro vértice sobre o lado do triângulo, ou seja é uma ceviana.

Na figura anterior, no triângulo $ABC$ , $\overline{AD}$ , $\overline{BF}$ e $\overline{CE}$ são cevianas. Se tivermos $\alpha = \beta$ , $\varepsilon = \zeta$ e $\delta = \gamma$ então as três cevianas serão bissetrizes internas.

Uma observação importante aqui: não estamos provando que as três bissetrizes internas concorrem (se interceptam) no mesmo ponto (isto ficará pra outro momento…), mas por ora, vamos admitir que seja verdade, já que, da fato, é.

Assim, feita esta breve observação e “dados nomes aos bois” chamaremos o ponto o $G$ de incentro do triângulo $ABC$ . E, claro, pela própria construção da figura, é intuitivo que o incentro é sempre interno ao triângulo, seja ele acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Por uma questão de simplificação, vamos convencionar que ângulos de mesma cor têm a mesma medida. Sabendo que tangentes comuns traçadas de um mesmo ponto a uma circunferência são iguais, o incentro de um triângulo é o centro do círculo inscrito no mesmo triângulo.

Assim, na figura anterior, os ângulos em laranja são todos retos (valem $90^\circ$ ) e $GM = GN = GP = r$ , em que $r$ é o raio do círculo inscrito, também chamado de incírculo. Fiz essa figura pra que seja percebido que os “pés” das bissetrizes não são, necessariamente, pontos do círculo inscrito.

Esta figura traz várias consequências implícitas. Por exemplo, os triângulos de mesma cor na figura a seguir, são congruentes. Mostrando, por exemplo que $AM = AN$ , $CM = CP$ e $BN = BP$ .

Assim, veja que o incentro está a uma mesma distância de cada um dos lados do triângulo.

Com base nesta figura, só para citar uma propriedade importante, podemos mostrar que $AM = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC$ . Como não é nosso foco, fica pra depois. Bom qual nosso foco, no momento então? A relação entre o angulo interno do vértice $A$ e o ângulo $B\widehat{G}C$ na figura a seguir:

Veja que $G$ é o incentro, pois $\overline{BF}$ e $\overline{CE}$ são bissetrizes internas. Assim, teremos as seguintes relações:

$\widehat{A} + 2x + 2y = 180^\circ$ para o triângulo $ABC$

e também

$\widehat{G} + x + y = 180^\circ \Rightarrow x + y = 180^\circ - \widehat{G}$

Fica, então, simples de se perceber que:

$\widehat{A} + 2(x + y) = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} + 2(180^\circ - \widehat{G}) = 180^\circ$

Ou seja:

$\widehat{A} = 2\widehat{G} - 180^\circ$ ou $\widehat{G} = \frac{\widehat{A}}{2} + 90^\circ$

Vamos então ao problema proposto na EEAr há algum tempo, que trago aqui com uma ligeira adaptação:

(EEAr — Modificada)
Um triângulo $ABC$ tem $M$ com incentro. Se $B\widehat{M}C = 3 \cdot B\widehat{A}C$ , qual o valor de $BAC$ ?
a) $15^\circ$
b) $18^\circ$
c) $24^\circ$
d) $36^\circ$

Veja que o problema trata exatamente do que acabamos de ver. Como $M$ é incentro, basta fazermos:

$B\widehat{A}C = 2B\widehat{M}C - 180^\circ$

Assim:

$B\widehat{A}C = 2 \cdot (3 \cdot B\widehat{A}C) - 180^\circ \Rightarrow 5 \cdot B\widehat{A}C = 180^\circ \Rightarrow B\widehat{A}C = 36^\circ$

Portanto, letra D.

Ah, e aqui está um vídeo sobre todos os pontos notáveis do triângulo.

Espero ter esclarecido um pouco mais sobre o incentro e suas propriedades.

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Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se $A_{n \times n}$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ , ao substituir cada elemento $a_{pj}$ da linha $p$ ( $p \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) da matriz $A$ pelos próprios elementos da linha $p$ por elementos $a_{qj}$ da linha $q$ ( $q \in \{1,2,\ldots,n\}$ e $p \ne q$ ) da matriz multiplicados por uma constante real $k$ o determinante da nova matriz $B$ é idêntico ao determinante de $A$ . Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $p > q$ , teremos:
$\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert$

Veja que a linha $q$ que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha $p$ pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz $M$ de ordem $2$ :

Exemplo: Calcular o determinante da matriz $M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right]$ .

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

$\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670$

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

$\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert$

O que nos dará:

$\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670$

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: $\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$ .

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha $(L_2')$ como $L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1$ e a nova terceira linha $(L_3')$ como $L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1$ , assim teremos:

$\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =$

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha $L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3'$ , veja:

$= \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$