Problema da Semana #12: solução!

Estamos de volta com o problema da semana. Vamos relembrar o enunciado antes de resolver. Segue:

Sendo $x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ , calcular o valor de $x^{2021} + \frac{1}{x^{2021}}$ .

Vamos à solução proposta pelo grande mentor e mestre Paulo de Sousa Sobrinho. Sabemos que:

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$

Daí, elevando ambos os membros ao quadrado, teremos:

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 0$

O que nos leva a:

$x^2 = -\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow x^4 = -1$

Sabemos que $x^{2021} = x^{2020} \cdot x$ e como $2020 = 4 \cdot 505$ , podemos fazer $(x^4)^{505} \cdot x$ e teremos:

$x^{2021} + \frac{1}{x^{2021}} = (x^4)^{505} \cdot x + \frac{1}{(x^4)^{505} \cdot x} = (-1) \cdot x + \frac{1}{(-1) \cdot x} = - (x + \frac{1}{x}) = - \sqrt{2}$

Esta é a solução proposta por nosso grande mestre ~~Jaiminho..~~ ops, Paulinho! Vou propor uma nova solução em vídeo, um pouco menos elegante e, talvez…, um pouquinho mais longa, porém menos sofisticada.

Menção honrosa:

Ygor Farias

Listagem de problemas resolvidos até agora:

(4) Micael França
(3) Ygor Gabriel
(2) Yasmim Silva
(2) Ygor Farias
(2) Arthur Rocha
(2) Mario Persico
(2) Iuri Henrique
(1) Alef
(1) Lucca Gabriel
(1) Gustavo
(1) Lucas Lopes
(1) Davi do Nascimento Teles Barata
(1) Enzo Botarelli

Até a próxima questão.

[LSB]

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Problema da Semana #12: Potências

Vamos a mais um problema da semana, desta vez proposto pelo ilustríssimo mentor Paulo de Sousa Sobrinho, mais conhecido por Paulinho. Segue o enunciado:

Sendo $x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ , calcular o valor de $x^{2021} + \frac{1}{x^{2021}}$ .

Agora é com você , mãos a obra e nos vemos em breve, na próxima solução.

Até lá.

[LSB]

Problema da Semana #11: Solução Sem Logaritmos!

$Expressão$

Vamos a solução de mais um problema da semana. Eis o enunciado da última semana:

Sendo $147^x = 189$ calcule o valor de $7^{\frac{1-2x}{3(x-3)}}$ .

Primeiro. vejamos que $147 = 21 \cdot 7$ e que $189 = 27 \cdot 7$ ; com isso, teremos:

$(21 \cdot 7)^x = 27 \cdot 7$

como $21 = 3 \cdot 7$ e $27 = 3^3$ podemos escrever:

$3^x \cdot 7^x \cdot 7^x = 3^3 \cdot 7^1$

Arranjando os termos:

$\frac{3^x}{3^3} = \frac{7^1}{7^{2x}}$

Portanto:

$3^{x-3}= 7^{1 - 2x}$

Agora, elevando ambos os membros a $\frac{1}{x-3}$ , ficamos com:

$(3^{x-3})^{\frac{1}{x-3}}= (7^{1 - 2x})^{\frac{1}{x-3}}$

Estamos quase lá, pois agora temos $3 = 7^{\frac{1 - 2x}{x-3}}$ . Elevando ambos os lados a $\frac{1}{3}$ :

$3^{\frac{1}{3}} = (7^{\frac{1 - 2x}{x-3}})^{\frac{1}{3}}$

Ou seja, $3^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{1 - 2x}{3(x-3)}}$ , assim a resposta é $3^{\frac{1}{3}}$ ou $\sqrt[3]{3}$ .

Resolveram este problema:

Micael França.

Listagem de problemas resolvidos até agora:

(4) Micael França
(3) Ygor Gabriel
(2) Yasmim Silva
(2) Ygor Farias
(2) Arthur Rocha
(2) @mariopersico_
(2) Iuri Henrique
(1) Alef
(1) Lucca Gabriel
(1) Gustavo
(1) Lucas Lopes
(1) Davi do Nascimento Teles Barata
(1) Enzo Botarelli

Problema da Semana #11: Tente Calcular o Valor da Expressão

Segue o problema proposto, mais uma vez pelo grande mentor, José Maria Gomes; o grande China.

Sendo $147^x = 189$ calcule o valor de $7^{\frac{1-2x}{3(x-3)}}$ .

Um problema envolvendo as meras propriedades de potenciação.

Este é um assunto muito importante para todos os alunos que farão um concurso no qual a álgebra elementar é cobrada. Agora é com você! Acha que consegue? Mãos a obra.

Até a solução!

[LSB]

Problema da Semana #9: Somando Raízes

Estamos de volta com mais um problema da semana. Desta vez, trazemos uma equação que mistura potenciação e equações do segundo grau do antigo concurso direto para a Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN). Veja:

(AMAN — 1984) Calcular a soma das raízes da equação:

$2^{x^2} = 32(2^{3x-7})$

a) $3$

b) $2$

c) $-3$

d) $-2$

e) N.R.A.

Agora é com você, mãos a obra e até breve!

[LSB]

O Quadrado de Números Terminados em 5

Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio
$P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m$
é divisível por $x+b$ , sendo $m < n$ , $n \in \mathbb{N}$ e $m \in \mathbb{N}^*$ e $b \ne 0$ , então ocorrerá necessariamente:
a) $m$ par e $n$ ímpar
b) $m$ ímpar e $n$ par
c) $m$ ímpar e $n$ ímpar
d) $m$ par e $n$ par
Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio $P$ por um polinômio do primeiro grau $D(x) = ax + b$ , então o resto será $R(x) = P(-\frac{b}{a})$ , em que $-\frac{b}{a}$ é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é $x + b$ e, portanto, sua raiz é $x = -b$ . Calculando $P(-b)$ , teremos $P(-b) = R(x) = 0$ , já que $P$ é divisível por $x + b$ , ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

$P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0$

Como, tanto $m$ quanto $n$ são números naturais, podemos escrever $(-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m$ e substituir na equação:

$(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0$

Finalmente:

$(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0$

Colocando $b^m$ em evidência:

$b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0$

Veja que, dentro dos colchetes, teremos $b^n \cdot b^{-n} = b^0$ , que só é possível se $b \ne 0$ , continuando:

$b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0$

Agora temos duas opções:

Se $b^m = 0$ , temos $b = 0$ , mas daí teríamos $b^0 = 0^0$ , que não é possível. A segunda opção é…
Termos $(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0$ , com $b^0 =1$ , uma vez que já vimos na opção anterior que $b \ne 0$ .

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

$(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0$

Veja que, $m$ sendo ímpar, teremos:

$-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0$

Que nunca será nulo, pois $\frac{1}{(-1)^n} \ne 0$ para qualquer $n \in \mathbb{N}$ . Para $m$ par, teremos:

$1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0$

Que nos dá $1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0$ , logo $(-1)^n = 1$ , portanto $n$ é par. Assim, chegamos à opção D.

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Até!

[LSB]

Vídeo: Potenciação – Potência de Potência e Expoente Inteiro Negativo

Olá leitores e alunos,

mais um vídeo sobre potenciação publicado. Desta vez, abordamos a potência de uma potência e as potências em que o expoente é inteiro e negativo. Exercite este assunto indo em exercícios >> matemática.

Bons estudos e boa semana.

@LSBar – CEO

Vídeo: Potenciação – Potência de um Produto ou de uma Divisão

Mais um vídeo publicado. Para exercitar, como sempre, vá até exercícios >> matemática. Lá você irá encontra listas de exercícios não só deste assunto, mas também de outros.

Um abraço, bons estudos e boa semana.

@LSBar – CEO