Exercícios Gerais: EEAr

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

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EEAr: TODAS as Questões de Exponenciais!

Olá leitor!

Já tínhamos postado aqui, mas por algum motivo deu ruim no WP e por isso, estou repostando.

Segue a lista atualizada (achei mais duas questões) da EEAr.

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EFOMM: 33 Questões de Provas Antigas!

Olá leitor!

Vai fazer prova pra EFOMM este ano? Deixamos 33 questões coletadas de provas antigas da EFOMM pra você!

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Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos $A\widehat{B}C$ , $A\widehat{C}D$ , $C\widehat{E}D$ são retos. Se $AB = 2\sqrt{3}$ m e $CE = \sqrt{3}$ m, a razão entre as áreas dos triângulos $ABC$ e $CDE$ é

a) $6$
b) $4$
c) $3$
d) $2$
e) $\sqrt{3}$

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo $B\widehat{A}C = \alpha$ . Assim teremos $B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha$ . Como $A\widehat{C}D = 90^\circ$ , teremos $E\widehat{C}D = \alpha$ e, portanto os triângulos $ABC$ e $CED$ são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

$\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

$\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4$

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam $x$ , $y$ e $z$ números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:
$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.$
O valor da soma $x^3 + y^3 + z^3$ é:
a) $210$
b) $235$
c) $250$
d) $320$
e) $325$
Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio $P(n)$ tal que $x$ , $y$ e $z$ sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

$P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0$

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

$x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3$

Alem disso, sabendo que $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)$ , portanto:

$(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3$

Da última equação do sistema:

$\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1$

Ou seja $a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3$ . Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

$a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0$

Teremos:

$a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0$

Como $a_3 \ne 0$ , temos:

$S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235$

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

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ITA: uma Questão de Combinatória!

Olá leitor!

Segue uma questão sobre análise combinatória trazida até mim.

(ITA) Uma escola possui $18$ professores, sendo $7$ de Matemática, $3$ de Física e $4$ de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de $12$ professores de modo que cada uma contenha exatamente $5$ professores de Matemática, no mínimo $2$ de Física e no máximo $4$ de Química?
a) $875$
b) $1877$
c) $1995$
d) $2877$
e) N.D.A.
Enviada por Caio Franco

Esse é o tipo de problema que a boa e velha tática de separar em casos ajuda bastante. Vamos montar uma tabela com as possibilidades de números de professores, sendo $M$ para Matemática; $F$ para Física; $Q$ para Química e $O$ para as outras disciplinas.

$\begin{array}{c | c | c | c} M & F & Q & O \\ \hline 5 & 3 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array}$

Assim, o total de escolhas será:

${7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 0} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 3}$

Podemos colocar ${7 \choose 5}$ em evidência:

${7 \choose 5} \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 4 + 1 \cdot 6 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \cdot 4) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot (1 +16 + 36 + 12 + 72) = 21 \cdot 137 = 2877$

Opção D.

Uma questão não tão difícil, mas no padrão que se espera do ITA.

Até a próxima!

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CN, EPCAr: um Pequeno Simulado!

Olá leitor,

deixo hoje pra você um pequeno simulado com 20 questões de matemática que servem de preparação pra você que está estudando para o Colégio Naval/ou para a EPCAr.

Simulado_12_CN_EPCAr Baixar

Boa sorte e bons estudos!!!

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AFA: 100 Exercícios de Matemática para Revisão na Reta Final!

Olá leitores.

Adicionamos mais uma lista com exercícios gerais de revisão na reta final para a prova da AFA deste ano.

Colocamos vários exercícios da AFA mais antigos pra variar um pouco das provas mais recentes e acrescentamos algumas também mais antigas da Escola Naval (que claro já passou) mas que servem como treinamento para a prova da AFA. Segue a lista:

Lista_Gerais_9 Baixar

Espero que seja de grande ajuda nestes últimos momentos.

Boa prova e sucesso!

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Escola Naval: Matemática 2021/2022 (Prova Amarela)

Olá leitor.

Recebi agora a prova da Escola Naval de 2021/2022 e vou começar a colocar aqui os meus gabaritos. Vou atualizando aos poucos. Você pode sempre voltar nesse link, caso queira.

IMPORTANTE: As questões não estão na ordem em que aparecem na prova, pois estou dando preferência as que vou resolvendo primeiro. Vamos lá!

Seja a sequência abaixo definida por uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação linear dos três termos imediatamente anteriores. $(2,-1,1,6,3,-1,\ldots)$
A soma do sétimo com o oitavo termo é igual a
a) $4$
b) $5$
c) $15$
d) $23$
e) $24$

Como dito no enunciado, cada termo $a_n$ segue a seguinte lei de formação:

$a_n = A \cdot a_{n-1} + B \cdot a_{n-2} + C \cdot a_{n-3} \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 4$

Para $n = 4$ :

$A \cdot a_3 + B \cdot a_2 + C \cdot a_1 = a_4$

Para $n = 5$ :

$A \cdot a_4 + B \cdot a_3 + C \cdot a_2 = a_5$

Para $n = 6$ :

$A \cdot a_5 + B \cdot a_4 + C \cdot a_3 = a_6$

Tirando os termos dados da sequência, teremos o sistema:

$\left\{ \begin{array}{lll} A - B + C = 6 \\ 6A + B - C = 3 \\ 3A + 6B + C = -1 \\ \end{array} \right.$

Somando as duas últimas equações, teremos $9A + 7B = 2$ e, duplicando a segunda equação e, somando com a primeira, chegamos à $13A + B = 12$ . Temos então o sistema a seguir:

$\left\{ \begin{array}{lll} 9A + 7B = 2 \\ 13A + B = 12 \\ \end{array} \right.$

Isolando $B$ na segunda, ficamos com $B = 12 - 13A$ e, então:

$9A + 7(12 - 13A) = 2 \Rightarrow 9A - 91 A = 2 - 84A \Rightarrow A = 1$

Consequentemente $B = -1$ e $C = 2$ .

Assim o termo geral fica:

$a_n = a_{n-1} - a_{n-2} + 2a_{n-3}$

O sétimo termo é $a_7 = a_6 - a_5 + 2a_4 = (-1) + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 8$ e o oitavo termo é $a_8 = a_7 - a_6 + 2a_5 = 8 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 15$ . Deste modo $a_7 + a_8 = 8 +15 = 23$ . Opção D.

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No $\mathbb{R}^3$ , a equação $ax+by + cz + d = 0$ , com as constantes $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ , podem representar um plano. Assinale a opção que esboça a representação geométrica dos planos no sistema linear abaixo
$\left\{ \begin{array}{l} 2x-y + 3z - 5 = 0 \\ -5x + 3y -4z + 6 = 0 \\ -x + y +2z - 4 = 0 \\ \end{array}\right.$

a) Dois planos paralelos e distintos e um secante a eles

b) Planos concorrentes em um ponto $(P)$

c) Planos secantes dois a dois

d) Planos concorrentes em uma reta $(r)$

e) Dois planos coincidentes e um secante a eles

Primeiro precisamos reescrever o sistema com segue:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 5 \\ -5x + 3y - 4z = -6 \\ -x + y + 2z = 4 \\ \end{array} \right.$

Agora vamos escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la:

$\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ -5 & 3 &- 4 & -6 \\ -1 & 1 & 2 & 4 \\ \end{array} \right\vert$

Multiplicamos a primeira linha por $3$ e somamos com a segunda, e multiplicamos a primeira linha por $1$ e somamos com a terceira linha:

$\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 5 & 9 \\ 1 & 0 & 5 & 9 \\ \end{array} \right\vert$

Veja que as duas últimas linhas são iguais representando planos coincidentes. O outro plano concorre com estes dois, haja vista que seus vetores normais não são paralelos. Veja:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 5z = 9 \\ x + 5z = 9 \\ \end{array} \right.$

O primeiro plano tem vetor $\vec{n}_1 = (2,-1,3)$ e o segundo (e terceiro) tem $\vec{n}_2 = (1,0,5)$ .

Chegamos à opção E.

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Todos os pontos $P(a,b)$ da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial $P = \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)$ .

Ao aplicarmos uma transformação linear $A \cdot P = Q$ , geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma $Q = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right)$ . Sendo $A = \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & - 1 \\ \end{array} \right)$ assinale a opção que apresenta a figura formada pela transformação $A \cdot P$ .

Vamos, em primeiro lugar, substituir os pontos dados na transformação linear:

$\left( \begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right)$

Ficamos com $\left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2a + b \\ 3a + b \end{array} \right)$ .

Olhando para a figura dada, vamos fazer uma tabela com os pontos da figura original. Estes pontos, por meio de suas coordenadas nos darão os novos pontos de coordenadas $(c,d)$ . Veja:

$\begin{array}{c || c|c|c|c} \textrm{Pontos} &a&b&c=-2a+b&d = 3a+b \\ \hline A(1,0) & 1 & 0 & -2 & 3 \\ \hline B(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2 \\ \hline C(2,\frac{1}{2}) & 2 & \frac{1}{2} & -\frac{7}{2} & \frac{13}{2} \\ \hline D(1,1) & 1 & 1 & 1 & 4 \\ \hline E(2,2) & 2 & 2 & -2 & 8 \\ \hline F(3,\frac{1}{2}) & 3 & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2} & \frac{19}{2} \\ \hline G(\frac{5}{2},0) & \frac{5}{2} & 0 & -5 & \frac{15}{2} \\\end{array}$

Para ficar bacana, vou marcar os pontos $(c,d)$ no Geogebra:

Assim chegamos à opção C.

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Considere um círculo de centro $O$ circunscrito a um triângulo $ABC$ com ângulo obtuso em $A$ . O raio $AO$ forma um ângulo de $30^\circ$ com a altura $AH$ e intercepta $BC$ em um ponto $E$ . O prolongamento da bissetriz do ângulo $A$ intercepta $BC$ em um ponto $F$ e a circunferência em um ponto $G$ , conforme figura abaixo.

Assinale a opção que apresenta a área do quadrilátero $FEOG$ sabendo que $AG = 4\sqrt{2}$ e $AH = \sqrt{2\sqrt{3}}$ cm.
a) $6(3+\sqrt{2})\,\textrm{cm}^2$
b) $3(6-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2$
c) $2(3+\sqrt{6})\,\textrm{cm}^2$
d) $3(6+\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2$
e) $6(2-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2$