EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de 20 exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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Mais uma Lista: Exercícios EsPCEx

Olá leitores!

Fim de terça-feira, passo aqui para deixar uma pequena lista de exercícios de matemática para a EsPCEx. Vai ser assim, pá-pum!

Faz aí, sucesso e boa semana.

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Mais de 500 Exercícios da EEAr!

Olá leitores,

por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.

Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:

Espero, de verdade, que isto te ajude a alcançar seus objetivos!

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Um Simulado Modelo EEAr

Olá leitores,

segue um pequeno simulado de matemática no nível da EEAr. Depois de fazerem as questões, podem dar uma olhada no gabarito das questões no arquivo deixado aqui.

Para fazer o simulado clique no link a seguir:

SIMULADO 1 — EEAr

Como disse, depois que fizer, veja as questões a seguir e seus gabaritos:

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150 Exercícios de Matemática!

Olá leitores.

Se você sempre vem aqui ao site, já deve ter percebido que ele está mais movimentado e, de fato estamos em uma nova fase.

E, continuando esta nova empreitada, quero deixar aqui uma lista de exercícios com 150 exercícios de matemática de assuntos diversos, pra você se divertir ao longo desta semana.

Sem firulas e demoras segue a lista.

Aproveite então. Estude e mande suas dúvidas e, conforme forem chegando, vamos colocando resolvidas aqui como já fizemos para outros parceiros.

Bons estudos.

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Um Pequeno Simulado Nível AFA

Olá pessoal, hoje trago para vocês um pequeno simulado de matemática próximo ao nível da AFA. São 10 questões em um formulário do Google:

https://forms.gle/GYzevR2qisAqFuHz6

Quando você terminar, clique em enviar e você receberá sua nota no e-mail que usou para responder ao formulário.

Caso tenha dúvida em algum dos problemas (depois de resolver todo o simulado, claro!) convido-o (ou convido-a) a verificar a solução comentada das questões

Espero que seja útil.

Grande abraço e bons estudos!

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Fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! E a melhor ajuda que você pode dar não custa nada: só basta divulgar esta iniciativa!

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Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Carl Gustav Jakob Jacobi

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se A_{n \times n} é uma matriz quadrada de ordem n, ao substituir cada elemento a_{pj} da linha p (p \in \{1,2,\ldots,n\}) da matriz A pelos próprios elementos da linha p por elementos a_{qj} da linha q (q \in \{1,2,\ldots,n\} e p \ne q) da matriz multiplicados por uma constante real k o determinante da nova matriz B é idêntico ao determinante de A. Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que p > q, teremos:

\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert  = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert

Veja que a linha q que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha p pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz M de ordem 2:

Exemplo: Calcular o determinante da matriz M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right].

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert

O que nos dará:

\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert.

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha (L_2') como L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1 e a nova terceira linha (L_3') como L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1, assim teremos:

\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3', veja:

=  \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =  \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert

Que é nulo, pois há uma fileira nula. Para conferir, basta aplicar o Teorema de Laplace.

Para saber um pouco mais sobre quem foi Jacobi, clique aqui.

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 13, 14, 15 e 16

Olá leitores, mais uma sequência de listas de exercícios. Nas últimas semanas acumulamos listas, mas agora elas estão todas aí disponíveis:

Essas foram as listas de exercícios das últimas quatro semanas. Bom proveito e boa páscoa!

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Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #6

Como prometido, estamos de volta com as listas da sexta semana do curso da pré-AFA 2019 no Curso Lincoln. Os arquivos seguem abaixo.

Mais uma semana bem produtiva. Aproveitem e divirtam-se neste fim de semana com essas listas.

Grande abraço.

[LSB]