Jacobi, Laplace, Sarrus e, talvez… Chió?

Olá leitores!

Hoje trazemos uma dúvida de dois leitores. Vamos lá:

Calcule \det(A) sabendo que A = \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array}\right).

a) 64

b) 128

c) 16

d) 32

e) 8

Milena Figueiredo e Artur Ardasse

Vamos à solução:

Primeiro vamos usar o Teorema de Jacobi, multiplicando a primeira linha por (-1) e somando a cada uma das demais:

\det A = \left \vert \begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert

A partir daí, podemos usar o Teorema de Laplace na quinta linha. Vamos lá:

\det A = (-1) \cdot (-1)^{5+1} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{5+5} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right \vert

Fazendo as devidas simplificações envolvendo os números que multiplicam estes determinantes:

\det A = - \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert +  \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right \vert

Continuando, podemos reaplicar o Teorema de Laplace na segunda linha no primeiro determinante e na quarta linha do segundo:

\det A = - \left[ 1 \cdot (-1)^{2+1}  \cdot \left \vert \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 3 \\   1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert \right] + (-1) \cdot (-1)^{4+1} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 \\   -1 & 0 & 1 \\   \end{array} \right \vert

Simplificando um pouco:

\det A =  \left \vert \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 3 \\   1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert +  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 \\   -1 & 0 & 1 \\   \end{array} \right \vert

Veja que os dois primeiros acima são iguais. Agora podemos usar a Regra de Sarrus em todos eles:

\det A = 3 + 3 + (4 + 3 + 3) = 16

Pelo visto, opção C.

Bom, mas e a regra de Chió…? Talvez valha a pena tentar usá-la, entretanto… acho que vai ser bem mais trabalhoso.

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Um Sistema Simples

Olá leitores, recebi uma dúvida há pouco, que envolve sistemas lineares. Vamos dar uma olhada.

Calcule a soma x + y + z no sistema abaixo:

\left\{\begin{array}{lll} 66x + 33y + 2z = 1 \\ 2x + 66y + 33z = 2 \\ 33x + 2y + 66 z = 98 \\ \end{array}\right.

Paolla Souza

Bom, em primeiro lugar é necessário saber que, se um sistema é composto de equações lineares, então a equação obtida pela soma das equações do sistema pode substituir qualquer equação do sistema, mantendo o conjunto solução intacto — que é uma aplicação direta do Teorema de Jacobi em uma matriz.

Daí, como só queremos x + y + z e não os valores individuais, só precisamos somar as três equações e teremos:

66x + 2x + 33x + 33y + 66y + 2y + 2z + 33z + 66z = 1 + 2 + 98

Portanto:

101 x + 101 y + 101 z = 101 \Rightarrow x + y + z = 1

Viu, basta uma boa ideia para resolver rápido. Mas claro, embora não tenhamos feito isso, você pode resolver o sistema, encontrando os valores das incógnitas e depois calcular a soma resultante de seus valores. Vá em frente!

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Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Carl Gustav Jakob Jacobi

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se A_{n \times n} é uma matriz quadrada de ordem n, ao substituir cada elemento a_{pj} da linha p (p \in \{1,2,\ldots,n\}) da matriz A pelos próprios elementos da linha p por elementos a_{qj} da linha q (q \in \{1,2,\ldots,n\} e p \ne q) da matriz multiplicados por uma constante real k o determinante da nova matriz B é idêntico ao determinante de A. Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que p > q, teremos:

\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert  = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert

Veja que a linha q que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha p pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz M de ordem 2:

Exemplo: Calcular o determinante da matriz M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right].

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert

O que nos dará:

\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert.

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha (L_2') como L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1 e a nova terceira linha (L_3') como L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1, assim teremos:

\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3', veja:

=  \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =  \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert

Que é nulo, pois há uma fileira nula. Para conferir, basta aplicar o Teorema de Laplace.

Para saber um pouco mais sobre quem foi Jacobi, clique aqui.