Olá leitor.

Recebi agora a prova da Escola Naval de 2021/2022 e vou começar a colocar aqui os meus gabaritos. Vou atualizando aos poucos. Você pode sempre voltar nesse link, caso queira.

IMPORTANTE: As questões não estão na ordem em que aparecem na prova, pois estou dando preferência as que vou resolvendo primeiro. Vamos lá!

Seja a sequência abaixo definida por uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação linear dos três termos imediatamente anteriores.

A soma do sétimo com o oitavo termo é igual a

a)

b)

c)

d)

e)

Como dito no enunciado, cada termo segue a seguinte lei de formação:

Para :

Para :

Para :

Tirando os termos dados da sequência, teremos o sistema:

Somando as duas últimas equações, teremos e, duplicando a segunda equação e, somando com a primeira, chegamos à . Temos então o sistema a seguir:

Isolando na segunda, ficamos com e, então:

Consequentemente e .

Assim o termo geral fica:

O sétimo termo é e o oitavo termo é . Deste modo . Opção D.

No , a equação , com as constantes , podem representar um plano. Assinale a opção que esboça a representação geométrica dos planos no sistema linear abaixo

a) Dois planos paralelos e distintos e um secante a eles

b) Planos concorrentes em um ponto

c) Planos secantes dois a dois

d) Planos concorrentes em uma reta

e) Dois planos coincidentes e um secante a eles

Primeiro precisamos reescrever o sistema com segue:

Agora vamos escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la:

Multiplicamos a primeira linha por e somamos com a segunda, e multiplicamos a primeira linha por e somamos com a terceira linha:

Veja que as duas últimas linhas são iguais representando planos coincidentes. O outro plano concorre com estes dois, haja vista que seus vetores normais não são paralelos. Veja:

O primeiro plano tem vetor e o segundo (e terceiro) tem .

Chegamos à opção E.

Todos os pontos da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial .

Ao aplicarmos uma transformação linear , geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma . Sendo assinale a opção que apresenta a figura formada pela transformação .

Vamos, em primeiro lugar, substituir os pontos dados na transformação linear:

Ficamos com .

Olhando para a figura dada, vamos fazer uma tabela com os pontos da figura original. Estes pontos, por meio de suas coordenadas nos darão os novos pontos de coordenadas . Veja:

Para ficar bacana, vou marcar os pontos no Geogebra:

Assim chegamos à opção C.

Considere um círculo de centro circunscrito a um triângulo com ângulo obtuso em . O raio forma um ângulo de com a altura e intercepta em um ponto . O prolongamento da bissetriz do ângulo intercepta em um ponto e a circunferência em um ponto , conforme figura abaixo.

Assinale a opção que apresenta a área do quadrilátero sabendo que e cm.

a)

b)

c)

d)

e)

No triângulo podemos calcular a :

No mesmo triângulo podemos calcular :

Podemos agora usar o teorema da bissetriz interna no triângulo :

Substituindo os valores:

Daí:

Desenvolvendo:

Finalmente temos .

No triângulo temos , em que é o raio do círculo. Aplicando a lei dos cossenos:

Sabemos que , pois o triângulo é isósceles de base e . Assim:

Chegamos assim a . Agora partimos para o calculo da área:

Teremos e . Ficamos com:

Fazendo as contas teremos . Ufa! Ê…, contarada!!!! Opção E.

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[LSB]