EEAr: Uma Lista Geral de Revisão

Olá leitores.

A primeira prova da EEAr de 2021 está chegando, e com ela se intensificam as aulas de revisão e aprofundamento. Deixamos então aqui uma lista de revisão com cerca de 25 exercícios de temas gerais de provas anteriores da EEAr.

Espero que esta lista te ajude a ficar ainda mais preparado para o concurso.

Bons estudos!

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Escola Naval: 32 Questões Gerais de Revisão

Olá pessoal!

Está de bobeira aí?!

Seguem, então, 32 questões de provas antigas (bem antigas, da década de 90!) da Escola Naval, todas com GABARITO para sua revisão nesta reta final!

Divirtam-se:

Bons estudos e boa semana!

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Análise Combinatória e Múltiplos de 3

Olá, leitores!

Hoje trazemos uma dúvida trazida por uma de nossas leitoras. Segue o enunciado:

Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

Stephanie Wenceslau

Bom, em primeiro lugar, para que um número qualquer, seja ele de 4 algarismos distintos ou não, seja múltiplo de 3 a soma de seus algarismos deve ser um número divisível por 3. Vamos separar, então em casos diferentes:

  1. Se o número é composto apenas por algarismos múltiplos de 3, certamente ele é múltiplo de 3. Para este caso, não há possibilidades, pois os algarismos devem ser distintos e só há 3 múltiplos de 3. Basta ver que temos 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 números.
  2. Como são cinco números disponíveis e usaremos quatro deles, já sabendo que não podem ser três múltiplos de 3 , teremos as seguintes possibilidades:
    1. Não usar o algarismo 3, daí a soma dos restantes é 2 + 4 + 6 + 9 = 21, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    2. Não usar o algarismo 6, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 9 = 18, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    3. Não usar o algarismo 9, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 6 = 15, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
  3. Veja que não há como usar apenas um algarismo múltiplo de 3, pois há três algarismos múltiplos de 3 dentre cinco e usaremos quatro deles.

Assim temos um total de 24 + 24 + 24 =  72 números.

Pensando em outra abordagem, podemos ver o seguinte: a soma de todos os algarismos é 2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 24. Como a soma total já é múltipla de 3, para termos uma soma total, usando apenas 4 algarismos, também múltipla de 3, só poderemos retirar um múltiplo de 3 dentre os existentes. Portanto, escolhemos primeiro um dos três múltiplos de 3 para retirar, sendo {3 \choose 1} = 3 maneiras e, os 4 algarismos restantes, formam o número de 4! maneiras possíveis. Daí, para cada algarismo retirado (que são 3 opções) temos esse total de permutações dos algarismos restantes, ou seja, 3 \times 4! = 72 números possíveis.

Espero ter respondido!

Até.

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Alguns Bons Exercícios para a EEAr!

Olá leitores!

Segue uma pequena lista com sete exercícios de matemática de assuntos diversos, criados por mim, para simular questões da EEAr.

São poucos exercícios, mas são interessantes. Pode confiar.

Bons estudos!

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EFOMM: Análise Combinatória

Olá leitores!

Hoje trago mais uma duvida enviada por um de nossos leitores. É uma questão da EFOMM, envolvendo análise combinatória ou, um problema de contagem, como gosto atualmente de dizer. O enunciado segue:

(EFOMM) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?

a) 24

b) 120

c) 480

d) 1920

e) 3840

Enviada por Artur Ardasse

Bom, em primeiro lugar é preciso saber que anagrama é qualquer combinação das letras de uma palavra. Se ela tem n letras, então teremos um total de n! anagramas. Quando há \alpha letras iguais, o total de anagramas é \frac{n!}{\alpha !}. Mas, no nosso problema, as vogais e as consoantes devem se alternar, já que não podem estar juntas.

Assim, se C representa uma das consoantes e V uma das vogais, as palavras serão da forma C_1V_1C_2V_2C_3V_3C_4V_4C_5. Como há mais vogais que consoantes, não há como começar com uma vogal (caso queira, pense no caso da palavra CARAVELA. Neste exemplo, poderíamos começar com vogal ou com consoante.).

Assim, como há 5 consoantes e 4 vogais, teremos 5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 5! \cdot 4!. Este é o total de anagramas sem considerar que há três letras “A” repetidas. Precisamos então, descontar estas repetições.

Portanto, nosso total será \frac{5! \cdot 4!}{3!} = \frac{120 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 480 anagramas. Temos assim a opção C.

Como observação final, pense em como faríamos se o enunciado pedisse anagramas em que temos vogais consecutivas ou consoantes consecutivas. Veja que agora que queremos “OU” e não “E”. Alguma coisa muda? Ou não? Pense nisso!

Até a próxima!

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32 Exercícios de Matemática da AFA

Olá leitores!

Separamos alguns exercícios da AFA de vários assuntos: matrizes, determinantes, P.A. e P.G., binômio geometria (diversos tópicos) e por aí vai…!

Segue a lista:

Bons estudos e até a próxima lista!

PS.: Só pra lembrar, esta lista e muitas outras, ficam também disponíveis aqui neste link!

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de 20 exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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Mais uma Lista: Exercícios EsPCEx

Olá leitores!

Fim de terça-feira, passo aqui para deixar uma pequena lista de exercícios de matemática para a EsPCEx. Vai ser assim, pá-pum!

Faz aí, sucesso e boa semana.

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Mais de 500 Exercícios da EEAr!

Olá leitores,

por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.

Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:

Espero, de verdade, que isto te ajude a alcançar seus objetivos!

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Um Simulado Modelo EEAr

Olá leitores,

segue um pequeno simulado de matemática no nível da EEAr. Depois de fazerem as questões, podem dar uma olhada no gabarito das questões no arquivo deixado aqui.

Para fazer o simulado clique no link a seguir:

SIMULADO 1 — EEAr

Como disse, depois que fizer, veja as questões a seguir e seus gabaritos:

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