Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right), N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) e X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right). Se X é solução de M^{-1}NX = P, então x^2 + y^2 + z^2 é igual a:

a) 35

b) 17

c) 38

d) 14

e) 29

Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por M:

M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP

Em que I representa a identidade de ordem 3. Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por N^{-1} pela esquerda, teremos:

N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP

Precisaremos inverter a matriz N (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter N faremos:

N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\  a + d + g = 0 \end{array}\right.

Da primeira equação teremos a = 1 -2g; substituindo na segunda: 3 \cdot (1-2g) + 2d = 0, portanto, d = \frac{6g - 3}{2}. Indo para a terceira:

1 - 2g +  \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}

Agora calculamos d:

d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}

E para o valor de a, sabemos a = \frac{1}{2}. Vamos agora para o segundo sistema:

\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\  b + e + h = 0 \end{array}\right.

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos b = -2h e, substituindo na terceira:

-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h

Colocando estes resultados na segunda:

3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}

Portanto temos b = \frac{1}{2} e e = -\frac{1}{4}. Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\  c + f + i = 1 \end{array}\right.

Da primeira equação obtemos c = -2i, usando na segunda, teremos:

3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i

Indo pra última equação:

-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}

Portanto, f = \frac{3}{2} e c = -1. Então, finalmente temos a inversa de N:

N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]

Queremos calcular X = N^{-1}MP que pode ser feito como X = N^{-1}(MP), logo temos MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right], e agora teremos a inversa de N multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\  \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}  \\ \end{array}\right].

Finalmente, podemos escrever: X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]. Portanto x = -3, y = 5 e z = 1, daí x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35. Opção A.

Problema trabalhoso, mas bacana, gostei!

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[LSB]

Exercícios: Equações Fracionárias III, IV e V

Olá leitores,

na próxima semana, pra quem mora no Rio de Janeiro, pelo menos, há dois feriados. Pensando nisso, disponibilizamos para você, que quer se matar de estudar, três novas listas de exercícios sobre equações fracionárias (listas 3, 4 e 5), colocadas em matemática >> exercícios.

Aproveitem e bons estudos.

@LSBar – CEO

Exercícios: Sistemas do Primeiro Grau V e VI

Olá leitores,

estamos de volta com mais duas “grandes listas” de exercícios, de assuntos que aparecem com grande recorrência em provas: sistemas de equações. Deixamos então mais duas listas de exercícios: sistemas de equações do primeiro grau 5 e 6. Não deixem de conferir indo em exercícios >> matemática e “caindo dentro”.

Abraço, boa semana, bons estudos.

@LSBar – CEO

Exercícios: Equações Modulares I e Equações Irracionais II

Olá leitores e amigos,

a seleção brasileira não conseguiu fazer dois gols para “escapar” dos pênaltis, mas nós conseguimos digitar duas “pequenas” listas de exercícios para alegrar seu fim de semana: Equações Modulares (lista 1) e Equações Irracionais (lista 2). Como de costume, para acessar a esse material, vá até exercícios >> matemática e procure pelos respectivos arquivos.

Que venha nosso próximo adversário.

@LSBar – Fundador.

Mais Exercícios: Equações Irracionais

Olá leitores,

muita gente tem entrado no site à procura de questões da CEFET. Estamos trabalhando na solução da prova de matemática de 2012 e enquanto ela não sai, queremos deixar “de presente” uma lista com 38 equações irracionais que você confere em Downloads >> Lista de Exercícios.

Bon appétit.

@LSBar