Contagem – Mentor

Olá leitores!

Hoje trago mais uma duvida enviada por um de nossos leitores. É uma questão da EFOMM, envolvendo análise combinatória ou, um problema de contagem, como gosto atualmente de dizer. O enunciado segue:

(EFOMM) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) $24$
b) $120$
c) $480$
d) $1920$
e) $3840$
Enviada por Artur Ardasse

Bom, em primeiro lugar é preciso saber que anagrama é qualquer combinação das letras de uma palavra. Se ela tem $n$ letras, então teremos um total de $n!$ anagramas. Quando há $\alpha$ letras iguais, o total de anagramas é $\frac{n!}{\alpha !}$ . Mas, no nosso problema, as vogais e as consoantes devem se alternar, já que não podem estar juntas.

Assim, se $C$ representa uma das consoantes e $V$ uma das vogais, as palavras serão da forma $C_1V_1C_2V_2C_3V_3C_4V_4C_5$ . Como há mais vogais que consoantes, não há como começar com uma vogal (caso queira, pense no caso da palavra CARAVELA. Neste exemplo, poderíamos começar com vogal ou com consoante.).

Assim, como há $5$ consoantes e $4$ vogais, teremos $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 5! \cdot 4!$ . Este é o total de anagramas sem considerar que há três letras “A” repetidas. Precisamos então, descontar estas repetições.

Portanto, nosso total será $\frac{5! \cdot 4!}{3!} = \frac{120 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 480$ anagramas. Temos assim a opção C.

Como observação final, pense em como faríamos se o enunciado pedisse anagramas em que temos vogais consecutivas ou consoantes consecutivas. Veja que agora que queremos “OU” e não “E”. Alguma coisa muda? Ou não? Pense nisso!

Até a próxima!