Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de x a matriz \left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right] é inversível?

Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por 2:

x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: 1 + (-3) + 14 + (-12) = 0, isto nos garante que 1 é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por 1:

1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se x = a é raiz de um polinômio P(x), então P(x) é divisível por x-a, isto é, P(x) é da forma P(x) = (x-a) \cdot P_1(x). Dito isso, vamos fatorar P(x) (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0

Assim:

x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: x^2 - 2x + 12 \ne 0. Calculando o discriminante teremos \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0, logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é x = 1. Logo, para a matriz ser inversível devemos ter x \ne 1.

Espero ter ajudado.

Vou deixar um vídeo sobre o teorema de D’Alembert:

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Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right), N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) e X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right). Se X é solução de M^{-1}NX = P, então x^2 + y^2 + z^2 é igual a:

a) 35

b) 17

c) 38

d) 14

e) 29

Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por M:

M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP

Em que I representa a identidade de ordem 3. Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por N^{-1} pela esquerda, teremos:

N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP

Precisaremos inverter a matriz N (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter N faremos:

N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\  a + d + g = 0 \end{array}\right.

Da primeira equação teremos a = 1 -2g; substituindo na segunda: 3 \cdot (1-2g) + 2d = 0, portanto, d = \frac{6g - 3}{2}. Indo para a terceira:

1 - 2g +  \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}

Agora calculamos d:

d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}

E para o valor de a, sabemos a = \frac{1}{2}. Vamos agora para o segundo sistema:

\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\  b + e + h = 0 \end{array}\right.

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos b = -2h e, substituindo na terceira:

-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h

Colocando estes resultados na segunda:

3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}

Portanto temos b = \frac{1}{2} e e = -\frac{1}{4}. Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\  c + f + i = 1 \end{array}\right.

Da primeira equação obtemos c = -2i, usando na segunda, teremos:

3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i

Indo pra última equação:

-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}

Portanto, f = \frac{3}{2} e c = -1. Então, finalmente temos a inversa de N:

N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]

Queremos calcular X = N^{-1}MP que pode ser feito como X = N^{-1}(MP), logo temos MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right], e agora teremos a inversa de N multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\  \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}  \\ \end{array}\right].

Finalmente, podemos escrever: X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]. Portanto x = -3, y = 5 e z = 1, daí x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35. Opção A.

Problema trabalhoso, mas bacana, gostei!

Fique com um vídeo sobre equações matriciais.

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Matrizes Inversíveis

Você sabe quando uma matriz é inversível?

Uma matriz A é inversível (ou invertível) quando admite inversa (ou seja, não falei nada!). Mas para admitir inversa o determinante de A deve ser diferente de zero, isto é, A só admite inversa se, e somente se, \det A \ne 0.

Vejamos um exemplo.

Sejam m e n números reais com m \ne n e as matrizes A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} \right) e B = \left( \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right). Para que a matriz mA + nB seja não inversível é necessário que:

a) m e n sejam positivos

b) m e n sejam negativos

c) m e n tenham sinais contrários

d) n^2 = 7m^2

Enviada por Marcus Tavares

Vamos então calcular a matriz pedida antes de procurar seu determinante:

mA + nB =\left( \begin{array}{rr} 2m & m \\ 3m & 5m \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} - n &  n \\ 0 &  n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2m - n & m + n \\ 3m & 5m + n \end{array} \right)

Calculando agora \det(mA + nB) encontramos:

\det(mA + nB) = (2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m

Para que a matriz seja não inversível, devemos ter seu determinante nulo:

(2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m = 0

Desenvolvendo:

10m^2 + 2mn - 5mn - n^2 - (3m^2 + 3mn) = 0

Logo:

7m^2 - 6mn - n^2 = 0

Veja que, se n = 0 teremos 7m^2 = 0, logo m = n = 0, mas m \ne n, logo, podemos dividir toda a expressão por n^2:

7 \cdot (\frac{m}{n})^2 - 6 \cdot  \frac{m}{n} - 1 = 0

Resolvendo:

\frac{m}{n} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7}

Finalmente:

\frac{m}{n} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{6 \pm 8}{14}

Há portanto, dois valores: \frac{m}{n} = 1, mas nesse caso, m = n, o que não é permitido pelas condições do problema; ou \frac{m}{n} = -\frac{1}{7} < 0 e, nesse caso, m e n têm sinais opostos, nos levando, então à opção C.

Pra fechar, vou deixar um vídeo sobre a inversa de uma matriz:

Espero que ajude.

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Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então \det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B.

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

Q é uma matriz 4 \times 4 tal que \det(Q) < 0 e Q^4 + 2Q^2 = 0, então temos:

a) \det Q = -2

b) \det Q = -4

c) \det Q = -8

d) \det Q = -16

Enviada por Laura Helena

Considerando que 0 representa a matriz nula quadrada de ordem 4, podemos escrever:

Q^4 = -2Q^2

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

\det(Q^4) = \det(-2Q^2)

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se k \in \mathbb{R} e A é matriz quadrada de ordem n, temos:

\det(kA) = k^n \cdot \det A

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2

Como, do enunciado, \det Q < 0, podemos dividir a expressão toda por \det Q:

(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos \det Q = -4.

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.
Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

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Matrizes Inversas: Use a Definição!

Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que A, B e I_n são duas matrizes quadradas de ordem n e a matriz identidade de ordem n, respectivamente. Então:

A \cdot B = B \cdot A = I_n

A matriz B é chamada de matriz inversa de A e podemos escrever B = A^{-1}. Assim:

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

Com isso, podemos mostrar que a inversa de A é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas A e B, de ordem n, tais que A \cdot X = B, quem é a matriz X que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz A, sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por A^{-1}. Como A^{-1} \cdot A = I_n, da definição de inversa, podemos escrever:

I \cdot X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

Assim já temos a matriz X, uma vez que basta inverter a matriz A, se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de C, a matriz das incógnitas de X e a matriz resultante de R, tendo assim a equação a seguir:

C \cdot X = R

Mas, como já vimos:

C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot R \Rightarrow X = C^{-1} \cdot R

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot  \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de C pela matriz coluna R :

X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow  \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]

Como as duas matriz são iguais, teremos x = 2, y = 3 e z = 1, opção E.

E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?

Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:

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Pontos Notáveis de um Triângulo: Incentro

Olá, nesta postagem queremos trazer um exemplo de problema que exige o conhecimento, mesmo que básico sobre os principais pontos notáveis do triângulo. Em particular, estamos falando sobre o incentro. Em vez de apenas resolver o problema, queremos falar um pouco sobre este ponto notável, aproveitando como uma revisão básica.

Por definição, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo. As bissetrizes internas de um triângulo são segmentos que tem um extremo sendo o vértice do triângulo e o outro vértice sobre o lado do triângulo, ou seja é uma ceviana.

Na figura anterior, no triângulo ABC, \overline{AD}, \overline{BF} e \overline{CE} são cevianas. Se tivermos \alpha = \beta, \varepsilon = \zeta e \delta = \gamma então as três cevianas serão bissetrizes internas.

Uma observação importante aqui: não estamos provando que as três bissetrizes internas concorrem (se interceptam) no mesmo ponto (isto ficará pra outro momento…), mas por ora, vamos admitir que seja verdade, já que, da fato, é.

Assim, feita esta breve observação e “dados nomes aos bois” chamaremos o ponto o G de incentro do triângulo ABC. E, claro, pela própria construção da figura, é intuitivo que o incentro é sempre interno ao triângulo, seja ele acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Por uma questão de simplificação, vamos convencionar que ângulos de mesma cor têm a mesma medida. Sabendo que tangentes comuns traçadas de um mesmo ponto a uma circunferência são iguais, o incentro de um triângulo é o centro do círculo inscrito no mesmo triângulo.

Assim, na figura anterior, os ângulos em laranja são todos retos (valem 90^\circ) e GM = GN = GP = r, em que r é o raio do círculo inscrito, também chamado de incírculo. Fiz essa figura pra que seja percebido que os “pés” das bissetrizes não são, necessariamente, pontos do círculo inscrito.

Esta figura traz várias consequências implícitas. Por exemplo, os triângulos de mesma cor na figura a seguir, são congruentes. Mostrando, por exemplo que AM = AN, CM = CP e BN = BP.

Assim, veja que o incentro está a uma mesma distância de cada um dos lados do triângulo.

Com base nesta figura, só para citar uma propriedade importante, podemos mostrar que AM = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC. Como não é nosso foco, fica pra depois. Bom qual nosso foco, no momento então? A relação entre o angulo interno do vértice A e o ângulo B\widehat{G}C na figura a seguir:

Veja que G é o incentro, pois \overline{BF} e \overline{CE} são bissetrizes internas. Assim, teremos as seguintes relações:

\widehat{A} + 2x + 2y = 180^\circ para o triângulo ABC

e também

\widehat{G} + x + y = 180^\circ \Rightarrow x + y = 180^\circ - \widehat{G}

Fica, então, simples de se perceber que:

\widehat{A} + 2(x + y) = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} + 2(180^\circ - \widehat{G}) = 180^\circ

Ou seja:

\widehat{A} = 2\widehat{G} - 180^\circ ou \widehat{G} = \frac{\widehat{A}}{2} + 90^\circ

Vamos então ao problema proposto na EEAr há algum tempo, que trago aqui com uma ligeira adaptação:

(EEAr — Modificada)

Um triângulo ABC tem M com incentro. Se B\widehat{M}C = 3 \cdot B\widehat{A}C, qual o valor de BAC?

a) 15^\circ

b) 18^\circ

c) 24^\circ

d) 36^\circ

Veja que o problema trata exatamente do que acabamos de ver. Como M é incentro, basta fazermos:

B\widehat{A}C = 2B\widehat{M}C - 180^\circ

Assim:

B\widehat{A}C = 2 \cdot (3 \cdot B\widehat{A}C) - 180^\circ \Rightarrow 5 \cdot B\widehat{A}C = 180^\circ \Rightarrow B\widehat{A}C = 36^\circ

Portanto, letra D.

Ah, e aqui está um vídeo sobre todos os pontos notáveis do triângulo.

Espero ter esclarecido um pouco mais sobre o incentro e suas propriedades.

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Uma Dúvida Interessante Sobre Conjunto-Solução

Olá pessoal, há algum tempo, recebi este comentário aqui no site. Como um dos vídeos mais vistos em nosso canal no Youtube (veja ele aqui ou no final desta postagem!) trata deste assunto, resolvi resolver e comentar um pouco sobre isto.

A dúvida é da Helena e diz o seguinte:

Se a equação X^4 - KX^2 = 0 tem solução S = \{-9;0;9\}, então:
a) K=9
b) K=81
c) K=18
d) K=0
e) K= -9

Helena

Inicialmente quero agradecer pela interação com o site, que por muito tempo ficou parado e que agora minha meta é manter funcionando. Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, vamos considerar algumas coisas.

(1) Vamos adotar que a equação tem X como incógnita, ou seja, este é o valor que queremos calcular. Isto faz sentido, porque se K fosse a variável, bastaria isolar K, fazendo:

-KX^2 = -X^4 \Rightarrow K = {X^2} \qquad \textrm{para } X \ne 0

Mas, como esta é uma equação literal do primeiro grau na incógnita K, seu conjunto-solução só poderia admitir um único valor. O que contrariaria o enunciado.

(2) O que o enunciado chama de “solução” na realidade é o conjunto-solução S; que é o conjunto cujos elementos solucionam a equação proposta, isto é, são soluções dela. Como S tem mais de um elemento e a equação está na forma de um polinômio, já sabemos que ele não pode ser do primeiro grau, já que pelo Teorema Fundamental da Álgebra uma equação polinomial de grau n tem exatamente n soluções complexas (no conjunto dos números complexos) e no máximo n soluções reais (em \mathbb{R}).

(3) Entendido isso, podemos trabalhar sobre a incógnita como sendo X. Assim, colocando X^2 em evidência, teremos:

X^2 \cdot (X^2 - K) = 0

Para que um produto de dois números seja nulo, é necessário que pelo menos um deles seja zero. Assim, sabemos que X^2 = 0, logo X = 0, caracterizando duas raízes reais e iguais a zero; ou X^2 - K = 0, daí:

X^2 = K \Rightarrow X = +\sqrt{K} \quad \textrm{ou} \quad X = -\sqrt{K}

Ou seja, temos um conjunto solução, que chamaremos de S' representado por S'= \{-\sqrt{K}; 0; +\sqrt{K}\}, que pressupõe necessariamente que K \geq 0.

Como S = S' devemos ter exatamente os mesmos elementos em ambos, ou seja \sqrt{K} = 9. Portanto, para K \geq 0, sabemos que K = 81. Teremos, então a opção B.

Assim, pra fecharmos o assunto, é necessário fazer algumas considerações importantes:

  • Verificar sempre quem é a incógnita da equação;
  • Verificar quem é o conjunto universo no qual se está trabalhando. No osso caso consideramos o conjunto dos números reais \mathbb{R}, mas poderíamos ter os naturais \mathbb{N}, inteiros \mathbb{Z}, complexos \mathbb{C}, etc;
  • É importante entender o papel do conjunto-solução em uma equação; e
  • Cuidado com equações literais.

É isso, espero ter respondido a dúvida da Helena e de outras pessoas, mesmo com um “certo” atraso.

Vídeo sobre conjunto-solução em nosso canal:

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Um Pequeno Simulado Nível AFA

Olá pessoal, hoje trago para vocês um pequeno simulado de matemática próximo ao nível da AFA. São 10 questões em um formulário do Google:

https://forms.gle/GYzevR2qisAqFuHz6

Quando você terminar, clique em enviar e você receberá sua nota no e-mail que usou para responder ao formulário.

Caso tenha dúvida em algum dos problemas (depois de resolver todo o simulado, claro!) convido-o (ou convido-a) a verificar a solução comentada das questões

Espero que seja útil.

Grande abraço e bons estudos!

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Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Carl Gustav Jakob Jacobi

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se A_{n \times n} é uma matriz quadrada de ordem n, ao substituir cada elemento a_{pj} da linha p (p \in \{1,2,\ldots,n\}) da matriz A pelos próprios elementos da linha p por elementos a_{qj} da linha q (q \in \{1,2,\ldots,n\} e p \ne q) da matriz multiplicados por uma constante real k o determinante da nova matriz B é idêntico ao determinante de A. Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que p > q, teremos:

\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert  = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert

Veja que a linha q que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha p pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz M de ordem 2:

Exemplo: Calcular o determinante da matriz M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right].

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert

O que nos dará:

\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert.

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha (L_2') como L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1 e a nova terceira linha (L_3') como L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1, assim teremos:

\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3', veja:

=  \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =  \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\  0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert

Que é nulo, pois há uma fileira nula. Para conferir, basta aplicar o Teorema de Laplace.

Para saber um pouco mais sobre quem foi Jacobi, clique aqui.

Número de Elementos e Operações com Conjuntos

Olá, bem vindos. Hoje falamos sobre o número de elementos de um conjunto qualquer e falamos sobre o número de elementos da união, da interseção, da diferença, do produto cartesiano e do conjunto das partes de um conjunto. Falamos quando cada um destes é máximo ou mínimo e mostramos como calcular o número de elementos da união de vários conjuntos. Até mais!