Vamos Racionalizar a Série a Seguir… “Vai que…”

Exercícios

Sejam bem vindos! Hoje trazemos uma interessante questão sobre radiciação proposta pelo grande mestre Losano em uma de suas avaliações:

Calcule o valor da expressão numérica \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}.

Sabe fazer? Bem, vale a pena tentar… Se já tentou (ou nem quer tentar), vamos lá. Vejamos uma solução que não seja sair calculando o mínimo múltiplo comum de todos os denominadores.

A ideia deste problema é a racionalização de denominadores, o que vai gerar uma espécie de série telescópica (se não sabe o que é isso, sem problema!). Assim, vamos racionalizar o denominador de cada parcela, ficando com:

\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}

Agora lembre-se que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 e aplique isso em cada parcela da soma anterior para cada denominador. Teremos:

\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Agora, desenvolvendo cada denominador:

\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6-5} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{5-4} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4-3} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}

A partir disso:

\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1

Simplificando os termos semelhantes, teremos: \sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 1

Ufa! Agoooooora… como acreditamos que ela poderia ser, para ficar elegante:

Calcule o valor da expressão numérica \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}.

Assim, teríamos, ja parte da racionalização dos denominadores:

\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Ou seja, mais uma vez, todos os denominadores seriam iguais a 1 e:

\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = \sqrt{6} - 1

Portanto, muito (ou não…) mais elegante (modéstia a parte, claro!).

Tmj, mestre Losano.

Até próxima galera!

[LSB]

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Publicado por Leonardo Santos

Engenheiro Eletrônico e de Computação (UFRJ)

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