O Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) de Expressões Algébricas: uma Questão da EEAr

Álgebra

Um aluno mandou uma dúvida sobre este assunto que compartilho com vocês agora. Ela trata sobre o MMC de expressões algébricas que caiu na prova da EEAR. Essa é uma questão antiga deste concurso e, atualmente, dificilmente aparecia algo nesse sentido já que o edital se concentra mais em assuntos do ensino médio atualmente.

Apesar disso, este é um assunto muito comum em provas militares (principalmente as que envolvem o conteúdo do 9º ano, tais como CN, EPCAr e Colégios Militares em geral…) e para resolvê-lo, em geral, precisamos única e exclusivamente da definição do que significa o calcular o mínimo múltiplo comum (ou MMC).

A imagem do enunciado da questão segue abaixo.

Como disse, basta aplicar a definição de MMC neste caso. Lembre-se que antes de verificar a solução logo abaixo, seria legal tentar resolver.

Veja que aparece também uma fatoração algébrica envolvendo o quadrado de uma diferença – que é um produto notável. Como falei, trata-se de uma questão simples (o que, via de regra nem sempre é fácil…), no sentido de que, conhecida a definição de MMC, o resto torna-se banal.

Ainda tem dúvida? Mais questões como essa? Conte-nos nos comentários e, até a próxima!

[LSB]

Vamos Racionalizar a Série a Seguir… “Vai que…”

Caraca que fácil!

Sejam bem vindos! Hoje trazemos uma interessante questão sobre radiciação proposta pelo grande mestre Losano em uma de suas avaliações:

Calcule o valor da expressão numérica \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}.

Sabe fazer? Bem, vale a pena tentar… Se já tentou (ou nem quer tentar), vamos lá. Vejamos uma solução que não seja sair calculando o mínimo múltiplo comum de todos os denominadores.

A ideia deste problema é a racionalização de denominadores, o que vai gerar uma espécie de série telescópica (se não sabe o que é isso, sem problema!). Assim, vamos racionalizar o denominador de cada parcela, ficando com:

\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}  + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}

Agora lembre-se que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 e aplique isso em cada parcela da soma anterior para cada denominador. Teremos:

\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} +  \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}  + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Agora, desenvolvendo cada denominador:

\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6-5} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{5-4} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4-3} +  \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2}  + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}

A partir disso:

\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 + \sqrt{3} +  \sqrt{3} - \sqrt{2}  + \sqrt{2} + 1

Simplificando os termos semelhantes, teremos: \sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 1

Ufa! Agoooooora… como acreditamos que ela poderia ser, para ficar elegante:

Calcule o valor da expressão numérica \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}.

Assim, teríamos, ja parte da racionalização dos denominadores:

\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} +  \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}  + \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}

Ou seja, mais uma vez, todos os denominadores seriam iguais a 1 e:

\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = \sqrt{6} - 1

Portanto, muito (ou não…) mais elegante (modéstia a parte, claro!).

Tmj, mestre Losano.

Até próxima galera!

[LSB]

Vídeo: Radiciação – Racionalização de Denominadores com uma Adição de Radicais

Mais um vídeo publicado, mais conhecimento compartilhado. Esperamos que gostem e aproveitem. Faça exercícios indo em exercícios >> matemática.

Bons estudos e sucesso.

Vídeo: Produtos Notáveis – Cubo da Soma

Mais um vídeo publicado em nossa playlist de produtos notáveis. Veja exercícios em exercícios >> matemática e veja nossos materiais relacionados em apostilas.

Boa semana, bons estudos e boas aulas.

@LSBar – CEO

Vídeo: Produtos Notáveis – Quadrado de um Trinômio

Olá leitores,

mais um vídeo sobre o conteúdo de produtos notáveis. Veja listas de exercícios em matemática >> exercícios e uma apostila básica sobre este conteúdo em apostilas.

Bons estudos e boa semana.

@LSBar – CEO

Vídeo: Produtos Notáveis – Quadrado da Soma: uma Observação

Para fazer exercícios vá em exercícios >> matemática. Para ter acesso a um material de estudo vá em apostilas.

Boa semana, bons estudos.

@LSBar – CEO

Vídeo: Produtos Notáveis – Quadrado da Diferença

Caso queira fazer exercícios, vá em exercícios >> matemática. Ou se quiser um material sobre o assunto, vá em apostilas.

Boa semana e bons estudos.

@LSBar – CEO

Exercícios: Produtos Notáveis VIII

Olá leitores,

mais uma “pequena lista” de exercícios: Produtos Notáveis VIII.

Bons estudos. Boa semana. Bons resultados.

@LSBar – CEO

Exercícios: Produtos Notáveis VII e Conjuntos VIII

Olá leitores,

mais duas listas de exercícios estão disponíveis: Produtos Notáveis VII (lista 7) e Conjuntos VIII (Lista 10). Como sempre, vá até exercícios >> matemática para acessar os arquivos. Em breve mais exercícios.

Até mais e bons estudos.

@LSBar – CEO

Apostila: Produtos Notáveis (Versão 1.0)

Olá alunos,

aproveitamos a páscoa para sacudir a poeira do teclado e colocar em dia a produção de material. Não podíamos deixar passar a oportunidade de publicar uma apostila que serve principalmente para concursos do ensino fundamental, como Aprendizes-Marinheiros e para concursos tal como a EEAr: Produtos Notáveis: Versão 1.0.

Para conferir vá até Downloads >> Apostilas. Não deixe de conferir também os exercícios de produtos notáveis em Exercícios >> Matemática.

@LSBar – Fundador.