Parábolas no Plano

Olá, leitores!

Hoje chegou aqui até mim uma dúvida envolvendo parábolas no plano cartesiano. Pra simplificar, a pergunta é a que segue:

(AFA — Adaptada) A distância entre o vértice e o foco da parábola y^2 + 4x - 4 = 0 é igual a 1 unidade de comprimento.

Alexandre Luis

Antes de sair respondendo, vamos ver como é o formato de uma parábola no plano cartesiano. Se a parábola tem eixo de simetria paralelo ao eixo Oy teremos:

(y - y_0) = \frac{1}{2p}(x - x_0)^2

Em que (x_0, y_0) são as coordenadas do vértice V, p é chamado de parâmetro da parábola e corresponde à distância entre o foco F(x_F,y_F) da parábola e a reta diretriz y = d com d = y_0 - \frac{p}{2}. Além disso, as coordenadas do foco são F(x_0, y_0 + \frac{p}{2}).

Por outro lado, se o eixo de simetria é paralelo à Ox teremos:

(x - x_0) = \frac{1}{2p}(y - y_0)^2

Claro que, agora a reta diretriz será x = d, com d = x_0 - \frac{p}{2} e F(x_0 + \frac{p}{2},y_0). Do problema dado, podemos reescrever a expressão da parábola e obter:

y^2 = -4x + 4 \Rightarrow (y - 0)^2 = -4(x-1) \Rightarrow (x - 1) = \frac{1}{2 \cdot (-2)} (y - 0)^2

Portanto, p = -2, e claro, d = 1 - \frac{-2}{2} = 2, também F(0,0) e V(1,0). Finalmente sabemos que, de fato VF = 1\,\textrm{u.c.}, medida horizontalmente. Veja a figura a seguir:

A distância BF é sempre igual à distancia BC.

E aí, gostou da solução? Compartilhe!

Grande abraço.

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[LSB]

Parábolas: Uma Pequena Lista de Exercícios

Olá alunos,

mais uma pequena lista de exercícios para vocês.

Desta vez inserimos uma lista sobre parábolas. Esta lista serve tanto para quem está estudando cônicas em geral, quanto para quem quer dar uma pequena revisada em alguns conceitos sobre funções quadráticas. O link segue abaixo e a lista está na nossa página de exercícios.

Parabolas_I

Bons estudos e sucesso.
@LSBar – Founder & CEO