Parábolas – Mentor

Olá, leitores!

Hoje chegou aqui até mim uma dúvida envolvendo parábolas no plano cartesiano. Pra simplificar, a pergunta é a que segue:

(AFA — Adaptada) A distância entre o vértice e o foco da parábola $y^2 + 4x - 4 = 0$ é igual a $1$ unidade de comprimento.
Alexandre Luis

Antes de sair respondendo, vamos ver como é o formato de uma parábola no plano cartesiano. Se a parábola tem eixo de simetria paralelo ao eixo $Oy$ teremos:

$(y - y_0) = \frac{1}{2p}(x - x_0)^2$

Em que $(x_0, y_0)$ são as coordenadas do vértice $V$ , $p$ é chamado de parâmetro da parábola e corresponde à distância entre o foco $F(x_F,y_F)$ da parábola e a reta diretriz $y = d$ com $d = y_0 - \frac{p}{2}$ . Além disso, as coordenadas do foco são $F(x_0, y_0 + \frac{p}{2})$ .

Por outro lado, se o eixo de simetria é paralelo à $Ox$ teremos:

$(x - x_0) = \frac{1}{2p}(y - y_0)^2$

Claro que, agora a reta diretriz será $x = d$ , com $d = x_0 - \frac{p}{2}$ e $F(x_0 + \frac{p}{2},y_0)$ . Do problema dado, podemos reescrever a expressão da parábola e obter:

$y^2 = -4x + 4 \Rightarrow (y - 0)^2 = -4(x-1) \Rightarrow (x - 1) = \frac{1}{2 \cdot (-2)} (y - 0)^2$

Portanto, $p = -2$ , e claro, $d = 1 - \frac{-2}{2} = 2$ , também $F(0,0)$ e $V(1,0)$ . Finalmente sabemos que, de fato $VF = 1\,\textrm{u.c.}$ , medida horizontalmente. Veja a figura a seguir: