AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n estão em progressão aritmética. Se n \leq 13, então o valor de 2n + 1 é:

a) 7

b) 13

c) 15

d) 27

Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio (x+a)^n é:

T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p

No nosso caso x = 1 e a = x. Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5

E

T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6

Então, {n \choose 4}, {n \choose 5} e {n \choose 6} formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}

Então:

2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}

Dividindo todas as parcelas por \frac{n!}{4!(n-6)!} teremos a seguinte expressão:

\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}

Desenvolvendo:

12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20

Finalmente chegamos à n^2 - 21n + 98 = 0, cujas raízes são n = 14 e n = 7. Do enunciado sabemos que n \leq 13, portanto, n = 7. Como queremos 2n + 1, sabemos que o resultado final é 15. Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha 7, chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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Números Binomiais

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como {n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}, com p \leq n e n,p \in \mathbb{N} em que o símbolo n! é o fatorial do número n. Vamos lá:

Calcular:

2 \cdot {n \choose 2} - {n+1 \choose 2} = 9

Enviado por Stephanie Wenceslau

Desenvolvendo, de acordo com a definição:

2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} - \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 9

Daí:

2 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} - \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{2 \cdot (n-1)!} = 9

Simplificando:

n \cdot (n-1) - \frac{(n+1) \cdot n }{2} = 9

Continuando:

n^2 - n - \frac{n^2+n}{2} = 9 \Rightarrow 2n^2 - 2n - n^2 - n = 18

Finalmente teremos n^2 -3n - 18 = 0. As raízes são n_1 = 6 e n_2 = -3. Como n \in \mathbb{N} teremos n = 6.

Calcular:

{n+3 \choose n} = 56

Enviado por Stephanie Wenceslau

Vamos lá, desenvolvendo:

\frac{(n+3)!}{n!(n+3-n)!} = 56

Teremos:

\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 3!} = 56

Cancelando os devidos termos:

\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)}{6} = 56 \Rightarrow (n+3)(n+2)(n+1) = 6 \cdot 56 = 6 \cdot 7 \cdot 8

Veja que, por mera observação, ja que n \in \mathbb{N} temos n = 5.

E aí? O que achou?

Até a próxima!

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