Números Binomiais

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de $(1+x)^n$ estão em progressão aritmética. Se $n \leq 13$ , então o valor de $2n + 1$ é:
a) $7$
b) $13$
c) $15$
d) $27$
Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio $(x+a)^n$ é:

$T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p$

No nosso caso $x = 1$ e $a = x$ . Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

$T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4$

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

$T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5$

$T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6$

Então, ${n \choose 4}$ , ${n \choose 5}$ e ${n \choose 6}$ formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

$2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}$

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$

Então:

$2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}$

Dividindo todas as parcelas por $\frac{n!}{4!(n-6)!}$ teremos a seguinte expressão:

$\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}$

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

$\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}$

Desenvolvendo:

$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$

Finalmente chegamos à $n^2 - 21n + 98 = 0$ , cujas raízes são $n = 14$ e $n = 7$ . Do enunciado sabemos que $n \leq 13$ , portanto, $n = 7$ . Como queremos $2n + 1$ , sabemos que o resultado final é $15$ . Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha $7$ , chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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[LSB]

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como ${n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ , com $p \leq n$ e $n,p \in \mathbb{N}$ em que o símbolo $n!$ é o fatorial do número $n$ . Vamos lá: