Múltiplos – Mentor

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja $W$ o conjunto dos números múltiplos de $2$ ou $P$ , em que $P$ é um primo ímpar. Sabendo que $\frac{3}{5}$ de $W$ , que são múltiplos de $P$ , são ímpares; $\frac{2}{5}$ de $W$ são ímpares; e $77$ elementos de $W$ não são múltiplos de $2P$ , pode-se afirmar que a quantidade de elementos de $W$ que são ímpares é um número múltiplo de:
a) $4$
b) $5$
c) $7$
d) $9$
e) $11$
Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de $2$ ou $P$ são infinitos. Assim, deveria vir escrito que $W$ é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que $M_P$ é o conjunto dos múltiplos de $P$ e que $M_2$ é o conjunto dos múltiplos de $2$ .

Vamos considerar que $M_P$ é o conjunto dos múltiplos de $P$ e que $M_2$ é o conjunto dos múltiplos de $2$ .

Desse modo:

$a$ serão os múltiplos de $2$ que não são múltiplos de $P$ ;
$b$ serão os múltiplos de $2$ que também são múltiplos de $P$ , ou seja, como $P$ também é primo, serão os múltiplos de $2P$ ; e
$c$ serão os múltiplos de $P$ que não são múltiplos de $2$ ; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de $P$ .

Chamando o total de elementos de $x$ , do enunciado, tiramos as seguintes informações:

$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.$

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de $P$ , $\frac{3}{5}$ são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

$3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c$

Da segunda linha, escrevemos: $b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot x = \frac{4}{15} x$ e da terceira linha:

$\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x$

Agora, todas as variáveis estão em função de $x$ , voltando à primeira linha do sistema:

$a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x$

Então:

$\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105$

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de $c$ neste caso. Assim $c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42$ que é múltiplo de $7$ . Opção C.

Até mais!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo:

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda!

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Olá, leitores!

Hoje trazemos uma dúvida trazida por uma de nossas leitoras. Segue o enunciado:

Calcule quantos múltiplos de $3$ , de $4$ algarismos distintos, podem ser formados com $2$ , $3$ , $4$ , $6$ e $9$ .
Stephanie Wenceslau

Bom, em primeiro lugar, para que um número qualquer, seja ele de $4$ algarismos distintos ou não, seja múltiplo de $3$ a soma de seus algarismos deve ser um número divisível por $3$ . Vamos separar, então em casos diferentes:

Se o número é composto apenas por algarismos múltiplos de $3$ , certamente ele é múltiplo de $3$ . Para este caso, não há possibilidades, pois os algarismos devem ser distintos e só há $3$ múltiplos de $3$ . Basta ver que temos $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ números.
Como são cinco números disponíveis e usaremos quatro deles, já sabendo que não podem ser três múltiplos de , teremos as seguintes possibilidades:
1. Não usar o algarismo $3$ , daí a soma dos restantes é $2 + 4 + 6 + 9 = 21$ , sendo múltiplo de $3$ . Serão $4! = 24$ números.
2. Não usar o algarismo $6$ , daí a soma dos restantes é $2 + 3 + 4 + 9 = 18$ , sendo múltiplo de $3$ . Serão $4! = 24$ números.
3. Não usar o algarismo $9$ , daí a soma dos restantes é $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ , sendo múltiplo de $3$ . Serão $4! = 24$ números.
Veja que não há como usar apenas um algarismo múltiplo de $3$ , pois há três algarismos múltiplos de $3$ dentre cinco e usaremos quatro deles.

Assim temos um total de $24 + 24 + 24 = 72$ números.

Pensando em outra abordagem, podemos ver o seguinte: a soma de todos os algarismos é $2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 24$ . Como a soma total já é múltipla de $3$ , para termos uma soma total, usando apenas $4$ algarismos, também múltipla de $3$ , só poderemos retirar um múltiplo de $3$ dentre os existentes. Portanto, escolhemos primeiro um dos três múltiplos de $3$ para retirar, sendo ${3 \choose 1} = 3$ maneiras e, os $4$ algarismos restantes, formam o número de $4!$ maneiras possíveis. Daí, para cada algarismo retirado (que são $3$ opções) temos esse total de permutações dos algarismos restantes, ou seja, $3 \times 4! = 72$ números possíveis.