O Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) de Expressões Algébricas: uma Questão da EEAr

Um aluno mandou uma dúvida sobre este assunto que compartilho com vocês agora. Ela trata sobre o MMC de expressões algébricas que caiu na prova da EEAR. Essa é uma questão antiga deste concurso e, atualmente, dificilmente aparecia algo nesse sentido já que o edital se concentra mais em assuntos do ensino médio atualmente.

Apesar disso, este é um assunto muito comum em provas militares (principalmente as que envolvem o conteúdo do 9º ano, tais como CN, EPCAr e Colégios Militares em geral…) e para resolvê-lo, em geral, precisamos única e exclusivamente da definição do que significa o calcular o mínimo múltiplo comum (ou MMC).

A imagem do enunciado da questão segue abaixo.

Como disse, basta aplicar a definição de MMC neste caso. Lembre-se que antes de verificar a solução logo abaixo, seria legal tentar resolver.

Veja que aparece também uma fatoração algébrica envolvendo o quadrado de uma diferença – que é um produto notável. Como falei, trata-se de uma questão simples (o que, via de regra nem sempre é fácil…), no sentido de que, conhecida a definição de MMC, o resto torna-se banal.

Ainda tem dúvida? Mais questões como essa? Conte-nos nos comentários e, até a próxima!

[LSB]

Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de $x$ a matriz $\left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right]$ é inversível?
Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

$0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0$

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

$2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0$

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por $2$ :

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0$

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: $1 + (-3) + 14 + (-12) = 0$ , isto nos garante que $1$ é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por $1$ :

$1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0$

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se $x = a$ é raiz de um polinômio $P(x)$ , então $P(x)$ é divisível por $x-a$ , isto é, $P(x)$ é da forma $P(x) = (x-a) \cdot P_1(x)$ . Dito isso, vamos fatorar $P(x)$ (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0$

Assim:

$x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0$

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: $x^2 - 2x + 12 \ne 0$ . Calculando o discriminante teremos $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0$ , logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é $x = 1$ . Logo, para a matriz ser inversível devemos ter $x \ne 1$ .

Espero ter ajudado.

Vou deixar um vídeo sobre o teorema de D’Alembert:

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Até!

[LSB]

Tira-Teima #13: Fatoração

Questão enviada por Rosimari Quaresma

O número $x = \frac{{{2^{17}}\cdot{5^{12}} + {{20}^6}\cdot{{50}^4}}}{{{6^3}\cdot{{10}^{12}}}}$ é igual a:

a) $2$

b) $5$

c) $216$

d) $432$

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Tira-Teima #12: Fatoração

Questão enviada por Rosimeri Quaresma:

O valor da expressão $\frac{{{a^5} + {a^4} + {a^3} + {a^2} + a + 1}}{{{a^4} + {a^2} + 1}}$ para $a = 59$ é:

a) $119$

b) $118$

c) $60$

d) $59$

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Vídeo: Fatoração – Soma de Cubos

Veja exercícios em exercícios >> matemática.

Bons estudos, boa semana.

@LSBar

Vídeo: Fatoração – Soma de Quadrados

Olá leitores,

mais um vídeo publicado em nosso canal. Exercite este assunto indo até exercícios >> matemática.

Bons estudos, boa semana.
@LSBar – CEO

Vídeo: Fatoração – Diferença de Quadrados

Olá leitores,

mais um vídeo, mais uma aula, mais conhecimento compartilhado. Confira exercícios >> matemática, pratique, aprenda e compartilhe.

Bom fim de semana.

@LSBar – CEO

Vídeo: Fatoração – Agrupamento

Olá leitores,

para alegrar e esclarecer seu fim de semana, mais um vídeo da série fatoração. Para fazer alguns exercícios sobre isso vá em exercícios >> matemática.

Bons estudos.

@LSBar – CEO

Vídeo: Fatoração – Termo Comum

Olá leitores,

inauguramos mais uma sequência de vídeos. Desta vez, vamos falar de fatoração, abordando a fatoração por termo comum. Faça exercícios indo em matemática >> exercícios.

Boa aula, bons estudos e sucesso.

Exercícios: Fatoração VII, Radiciação I (Remix) e Radiciação VII

Olá leitores,

acabou o carnaval, mas aqui ainda estamos em “ritmo de festa”. Mais três listas de exercícios caprichadas. Como sempre, para conferir vá em exercícios >> matemática e procure pelos respectivos arquivos.

Um abraço e boa semana