Hoje trazemos mais uma coletânea de questões de física da EEAr. São 80 questões (espero não ter repetido nenhuma) envolvendo os assuntos Termometria, Dilatação Térmica, Trocas de Calor, Mudanças de Fase e Propagação do Calor.
Seguem os meus gabaritos para a (primeira) prova de matemática da EEAr de 2021/2022.
Uma caixa cúbica, de aresta cm, está totalmente cheia de água. Ao despejar toda a água em um tubo cilíndrico de cm de raio, essa água atingirá uma altura de cm no tubo. (Considere as dimensões como sendo internas ao recipiente e que o tubo tem a altura necessária para o evento.)
a)
b)
c)
d)
O volume do cubo será de . Para o cilindro teremos o volume de , ou seja cm. Opção B.
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Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo, composto por dois círculos concêntricos divididos em setores circulares de cada. Se o raio do maior círculo medir cm e o do menor medir , toda a área hachurada (em cinza) mede .
a)
b)
c)
d)
Repare que podemos simplesmente “encaixar” as partes “cinzas” nas partes “brancas”, formando um semicírculo de raio cm. Assim, a área será , portanto, opção C.
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A revolução de um triângulo equilátero de cm de lado, em torno de um de seus lados, gera um sólido de volume igual .
a)
b)
c)
d)
A rotação deste triângulo sobre um de seus lados vai gerar um duplo cone (dois cones) cujo raio da base (do cone) é a altura cm do triângulo e cuja altura total é duas vezes a metade do lado cm também do triângulo. Veja a figura:
Veja que temos dois cones de mesmo raio e mesma altura .
Então teremos:
Teremos, então a opção A.
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O ponto é à circunferência de equação e é à circunferência de equação .
a) exterior; exterior
b) exterior; interior
c) interior; exterior
d) interior; interior
Para resolver este problema basta comparar a distância do centro de cada circunferência ao ponto dado com o raio da respectiva circunferência. Para isto, basta substituir o ponto na equação da circunferência. Para a primeira:
, logo o primeiro ponto é interior.
Para a segunda:
, logo o segundo ponto também é interior.
Portanto, opção D.
Sempre costumo lembrar que um desenho ajuda. Segue uma figura da situação.
O ponto é o centro da primeira circunferência; e , o da segunda.
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Em uma classe da 1ª série do Curso de Formação de Sargentos — EEAr, as idades dos alunos se distribuíam conforme a tabela. Desta forma, a idade média ponderada desses alunos era de anos.
a)
b)
c)
d)
Vamos dizer que o total de alunos seja , como a frequência relativa é calculada sempre sobre o mesmo total, podemos fazer a média ponderada pelas próprias frequências, veja:
Veja que podemos cancelar , uma vez que não é zero e teremos:
Chegamos à opção C.
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Sejam e os restos das divisões de por, respectivamente, e . Desta forma, pode-se afirmar que
a)
b)
c)
d)
Como só queremos o resto, basta aplicar o Teorema do Resto, assim:
E o outro resto:
Assim, , opção A.
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Um número complexo tem argumento e módulo igual a . A forma algébrica de é
a)
b)
c)
d)
Sabemos que a forma trigonométrica de um complexo é , podemos então substituir os valores dados:
Tendo como resposta a opção A.
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O gráfico mostra o consumo médio de gasolina, em km/L, dos veículos de uma revendedora de automóveis. Com base no gráfico, é correto afirmar que a quantidade de veículos da revendedora que percorrem km ou mais com litro de gasolina corresponde a do total de veículos da loja. (Considere que em cada classe o intervalo é fechado no limite inferior e aberto no limite superior).
a)
b)
c)
d)
De acordo com o histograma, há veículos com autonomia de a km/L; veículos na faixa de a km/L e veículos de a km/L. O total de veículos na faixa de autonomia pedida é, então, de veículos. O total geral de veículos é de veículos. A porcentagem será de . Opção C.
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Sejam os arcos de e rad. No ciclo trigonométrico, são tais que ambos estão no:
a) 1º quadrante e são côngruos
b) 2º quadrante e são côngruos
c) 1º quadrante e não são côngruos
d) 2º quadrante e não são côngruos
Sabemos que , pertencendo, portanto, ao segundo quadrante; e que que é côngruo de e está, por sua vez, também no segundo quadrante, sendo assim, côngruos. Opção B.
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Seja a P.G. . Ao somar o 5º e o 6º termos dessa P.G. tem-se
a)
b)
c)
d)
Vamos, primeiro, identificar a razão da P.G. que é . Assim, o quinto termo será e o sexto será igual ao quinto multiplicado pela razão, ou seja, . Então a soma será:
Então:
Chegamos então à opção C.
Como observação, poderíamos completar a P.G. calculando os termos seguintes, multiplicando os anteriores pela razão:
E claro .
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Seja uma função tal que e . A alternativa que apresenta todos os pontos de um possível gráfico de é
a) ; ; ; e
b) ; ; ; e
c) ; ; e
d) ; ; ; e
Primeiramente, como há cinco elementos no domínio de que é , devemos ter pares ordenados e cada abscissa deve ser correspondente aos elementos de . A única opção que atende é B.
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A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma circunferência de raio cm e o perímetro do quadrado inscrito na mesma circunferência é
a)
b)
c)
d)
O quadrado que circunscreve uma circunferência de raio tem lado e o quadrado inscrito tem diagonal tal que . Como temos , portanto:
Opção D.
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Se alunos do CFS da EEAr “entrarão em forma” em uma única fila, de maneira que a única restrição seja de que o aluno mais alto fique no início da fila, então o número de formas diferentes de se fazer esta formação é
a)
b)
c)
d)
São posições, sendo que a primeira só pode ser ocupada por uma única pessoa. As demais, podem ser ocupadas pelas sete pessoas restantes.
Opção A.
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Seja um triângulo tal que , conforme a figura.
Assim, tem-se que .
a)
b)
c)
d)
Vejamos, em primeiro lugar que e, por isso, . Então, o triângulo é equilátero e teremos . Para o triângulo , os segmentos e são medianas e, portanto, o ponto é baricentro de . Então, da propriedade do baricentro teremos . Se , teremos , logo . Opção A.
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Um cilindro circular reto de cm de raio da base e de cm de altura terá toda a sua superfície lateral revestida por uma fita de cm de largura, como mostra a figura.
Considerando e que não haverá sobreposição de fita, será necessária uma quantidade mínima de m de fita para realizar a tarefa.
a)
b)
c)
d)
O comprimento de cada volta da fita em torno do cilindro corresponde ao comprimento do círculo da base do cilindro: cm. A altura do cilindro é de cm e cada fita tem cm de espessura. Assim, serão necessárias fitas. Então o comprimento total de fita será de cm. Ou seja, m. Opção B.
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Se então é igual a
a)
b)
c)
d)
Sabemos que e, da expressão dada no enunciado:
Temos então, a opção B.
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Pedro é um tenista profissional que vem treinando saques por dia. Porém, a partir de amanhã, a cada dia de treino ele fará saques a mais que no treino anterior. Se o objetivo de Pedro é alcançar o dia em que treinará saques, ele conseguirá isso no dia de treino, considerando hoje o primeiro dia.
a)
b)
c)
d)
Como ele sempre faz cinco saques a mais que no dia anterior, teremos uma progressão aritmética:
Assim, e , queremos que o termo geral seja igual a , ou seja:
Portanto:
Mais uma vez eu digo, bastava escrever os termos:
E contar. Opção C.
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Simplificando a expressão , encontra-se igual a
a)
b)
c)
d)
Sabendo que teremos:
Então, opção D. Mais um comentário: veja que poderíamos fazer facilmente e teríamos . A única opção que daria este resultado é a opção D. Bingo!
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Se e , então o valor de é
a)
b)
c)
d)
Vamos primeiro “ajeitar” a expressão dada:
Continuando:
Opção A.
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Uma bola é lançada verticalmente para cima. Se sua altura , em metros, em relação ao solo, segundos após o lançamento, considerando , pode ser calculada por , a altura máxima atingida pela bola é m.
a)
b)
c)
d)
A altura máxima corresponde à ordenada do vértice da parábola representada por :
Temos, então, Opção C.
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Seja um triângulo retângulo em , tal que . Se o perímetro do triângulo é cm, a hipotenusa mede cm.
a)
b)
c)
d)
Como , teremos e finalmente:
Analogamente:
Fazendo teremos:
Mas este é o perímetro, logo:
Assim, e racionalizando:
Chegamos então, à opção D.
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Seja a reta determinada e . O ponto de abscissa pertencente à possui ordenada igual a
a)
b)
c)
d)
Vamos achar o coeficiente de :
Assim a equação de fica:
Para , teremos . Opção D.
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A base de uma pirâmide é uma das faces de um cubo de aresta . Se o volume do cubo somado com o volume da pirâmide é , a altura da pirâmide é da aresta .
a) o dobro
b) o triplo
c) a metade
d) a terça parte
Seja o volume do cubo e o volume da pirâmide. Teremos:
Do enunciado:
Opção B.
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Dadas as retas , e , pode-se afirmar, corretamente, que
a) e são paralelas
b) e são coincidentes
c) e são perpendiculares
d) e são perpendiculares
Vamos colocar todas na forma reduzida:
Vamos comparar os coeficientes de e . Como e , daí e são paralelas e distintas.
Passemos então às retas e : como , portanto, e são concorrentes e perpendiculares.
Como e são paralelas, então e também são perpendiculares. Opção C.
Mais uma vez fica a dica. Um desenho simples poderia ajudar na solução; vamos desenhar as três retas.
Veja que e que .
É isso galera! Comentem e compartilhem, se quiserem.
Está estudando para a EEAr? Segue então um simulado com 24 questões de matemática para a EEAr. Serve como revisão geral para você que fará a prova no próximo dia 30/5.
A primeira prova da EEAr de 2021 está chegando, e com ela se intensificam as aulas de revisão e aprofundamento. Deixamos então aqui uma lista de revisão com cerca de 25 exercícios de temas gerais de provas anteriores da EEAr.
por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.
Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:
segue um pequeno simulado de matemática no nível da EEAr. Depois de fazerem as questões, podem dar uma olhada no gabarito das questões no arquivo deixado aqui.
Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.
Vamos considerar que , e são duas matrizes quadradas de ordem e a matriz identidade de ordem , respectivamente. Então:
A matriz é chamada de matriz inversa de e podemos escrever . Assim:
Com isso, podemos mostrar que a inversa de é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.
O que queremos verificar é o seguinte:
Se conhecemos as matrizes quadradas e , de ordem , tais que , quem é a matriz que satisfaz esta equação?
Bom, como conhecemos a matriz , sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:
Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por . Como , da definição de inversa, podemos escrever:
Assim já temos a matriz , uma vez que basta inverter a matriz , se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.
Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.
Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de , a matriz das incógnitas de e a matriz resultante de , tendo assim a equação a seguir:
Mas, como já vimos:
E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:
Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de pela matriz coluna :
Como as duas matriz são iguais, teremos , e , opção E.
E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?
Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:
Olá, nesta postagem queremos trazer um exemplo de problema que exige o conhecimento, mesmo que básico sobre os principais pontos notáveis do triângulo. Em particular, estamos falando sobre o incentro. Em vez de apenas resolver o problema, queremos falar um pouco sobre este ponto notável, aproveitando como uma revisão básica.
Por definição, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo. As bissetrizes internas de um triângulo são segmentos que tem um extremo sendo o vértice do triângulo e o outro vértice sobre o lado do triângulo, ou seja é uma ceviana.
Na figura anterior, no triângulo , , e são cevianas. Se tivermos , e então as três cevianas serão bissetrizes internas.
Uma observação importante aqui: não estamos provando que as três bissetrizes internas concorrem (se interceptam) no mesmo ponto (isto ficará pra outro momento…), mas por ora, vamos admitir que seja verdade, já que, da fato, é.
Assim, feita esta breve observação e “dados nomes aos bois” chamaremos o ponto o de incentro do triângulo . E, claro, pela própria construção da figura, é intuitivo que o incentro é sempre interno ao triângulo, seja ele acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Por uma questão de simplificação, vamos convencionar que ângulos de mesma cor têm a mesma medida. Sabendo que tangentes comuns traçadas de um mesmo ponto a uma circunferência são iguais, o incentro de um triângulo é o centro do círculo inscrito no mesmo triângulo.
Assim, na figura anterior, os ângulos em laranja são todos retos (valem ) e , em que é o raio do círculo inscrito, também chamado de incírculo. Fiz essa figura pra que seja percebido que os “pés” das bissetrizes não são, necessariamente, pontos do círculo inscrito.
Esta figura traz várias consequências implícitas. Por exemplo, os triângulos de mesma cor na figura a seguir, são congruentes. Mostrando, por exemplo que , e .
Assim, veja que o incentro está a uma mesma distância de cada um dos lados do triângulo.
Com base nesta figura, só para citar uma propriedade importante, podemos mostrar que . Como não é nosso foco, fica pra depois. Bom qual nosso foco, no momento então? A relação entre o angulo interno do vértice e o ângulo na figura a seguir:
Veja que é o incentro, pois e são bissetrizes internas. Assim, teremos as seguintes relações:
para o triângulo
e também
Fica, então, simples de se perceber que:
Ou seja:
ou
Vamos então ao problema proposto na EEAr há algum tempo, que trago aqui com uma ligeira adaptação:
(EEAr — Modificada)
Um triângulo tem com incentro. Se , qual o valor de ?
a)
b)
c)
d)
Veja que o problema trata exatamente do que acabamos de ver. Como é incentro, basta fazermos:
Assim:
Portanto, letra D.
Ah, e aqui está um vídeo sobre todos os pontos notáveis do triângulo.
Espero ter esclarecido um pouco mais sobre o incentro e suas propriedades.