Vamos Racionalizar a Série a Seguir… “Vai que…”

Sejam bem vindos! Hoje trazemos uma interessante questão sobre radiciação proposta pelo grande mestre Losano em uma de suas avaliações:

Calcule o valor da expressão numérica $\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$ .

Sabe fazer? Bem, vale a pena tentar… Se já tentou (~~ou nem quer tentar~~), vamos lá. Vejamos uma solução que não seja sair calculando o mínimo múltiplo comum de todos os denominadores.

A ideia deste problema é a racionalização de denominadores, o que vai gerar uma espécie de série telescópica (se não sabe o que é isso, sem problema!). Assim, vamos racionalizar o denominador de cada parcela, ficando com:

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$

Agora lembre-se que $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ e aplique isso em cada parcela da soma anterior para cada denominador. Teremos:

$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

Agora, desenvolvendo cada denominador:

$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6-5} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{5-4} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4-3} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}$

A partir disso:

$\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1$

Simplificando os termos semelhantes, teremos: $\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 1$

Ufa! Agoooooora… como acreditamos que ela poderia ser, para ficar elegante:

Calcule o valor da expressão numérica $\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$ .

Assim, teríamos, ja parte da racionalização dos denominadores:

$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

Ou seja, mais uma vez, todos os denominadores seriam iguais a $1$ e:

$\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = \sqrt{6} - 1$

Portanto, muito (ou não…) mais elegante (modéstia a parte, claro!).

Tmj, mestre Losano.

Até próxima galera!

[LSB]

Simulados: Matemática Vol. 10

Olá alunos,

o tempo não para; e nem nós. Publicamos mais um simulado de 30 questões. São questões no nível do 9º ano do ensino fundamental, abordando vários assuntos, tais como potenciação, ângulos na circunferência, teorema de Pitágoras e segmentos proporcionais. É um simulado indicado para quem vai fazer provas para escolas técnicas do 9° ano, Colégio Militar ou Aprendizes-Marinheiros.

Para conferir vá em Simulados no menu superior e clique no link Volume 10.

Bons estudos e até breve com o próximo simulado.

@LSBar – Fundador.

Apostila: Produtos Notáveis (Versão 1.0)

Olá alunos,

aproveitamos a páscoa para sacudir a poeira do teclado e colocar em dia a produção de material. Não podíamos deixar passar a oportunidade de publicar uma apostila que serve principalmente para concursos do ensino fundamental, como Aprendizes-Marinheiros e para concursos tal como a EEAr: Produtos Notáveis: Versão 1.0.

Para conferir vá até Downloads >> Apostilas. Não deixe de conferir também os exercícios de produtos notáveis em Exercícios >> Matemática.

@LSBar – Fundador.

Mais Material para a EPCAr/CMRJ

Olá leitores,

mais uma lista de exercícios disponível para a turma da EPCAr/CMRJ.

@LSBar

Mais um simulado para a EPCAr/CMRJ

Olá alunos e leitores.

Disponibilizamos mais um simulado de Língua Portuguesa e Matemática para a EPCAr. Para acessar vá até O Curso >> EPCAr/CMRJ.

Bons estudos.

@LSBar

Materiais de Preparação para provas do 9º ano

Olá leitores,

estamos com nossa turma de preparação para EPCAr e CMRJ funcionando plenamente e, como presente de páscoa (atrasado), deixamos aberta a página com os materiais de preparação para estas turmas.

São 4 listas de exercícios e 1 simulado e, em breve, colocaremos mais material, não só de matemática, mas de português também.

Bons estudos.

Equipe Mentor

Simulado EPCAr/CMRJ de 30/03/2012

Olá alunos,

já estão disponíveis o simulado e o respectivo gabarito de 30/03/2012. Veja quais errou e quais acertou e esclareça suas dúvidas na próxima aula.

Equipe Mentor

Soluções comentadas do CMRJ

Olá a todos,

seguindo a linha dos arquivos com soluções comentadas do CEFET/RJ, estamos disponibilizando agora um arquivo com algumas questões de matemática solucionadas do Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ. Para conferir este arquivo vá até a página de Soluções Comentadas ou clique aqui.

Em breve tem mais.

Equipe Mentor.

Questões Resolvidas: CEFET/RJ

Estamos postando mais um material: Soluções de Questões da CEFET. Neste material, diferente dos outros, colocamos as questões separadas por assuntos, pois não conseguimos muitas provas antigas, quando as conseguirmos, organizaremos em provas e postaremos o arquivo completo:

Soluções de Questões de Vestibular – Matemática – CEFET v1.0

Nas próximas semanas faremos isso com Colégio Pedro II, Colégio Militar RJ, CAP-UERJ e CAP-UFRJ. Além de mais questões do CEFET, claro.

Bons estudos.

Equipe Mentor

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