Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então \det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B.

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

Q é uma matriz 4 \times 4 tal que \det(Q) < 0 e Q^4 + 2Q^2 = 0, então temos:

a) \det Q = -2

b) \det Q = -4

c) \det Q = -8

d) \det Q = -16

Enviada por Laura Helena

Considerando que 0 representa a matriz nula quadrada de ordem 4, podemos escrever:

Q^4 = -2Q^2

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

\det(Q^4) = \det(-2Q^2)

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se k \in \mathbb{R} e A é matriz quadrada de ordem n, temos:

\det(kA) = k^n \cdot \det A

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2

Como, do enunciado, \det Q < 0, podemos dividir a expressão toda por \det Q:

(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos \det Q = -4.

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.
Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

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[LSB]