EFOMM e Determinantes

Olá pessoal!

Hoje trago uma duvida sobre uma questão da EFOMM de 2010, enviada pela Laura Helena.

Já fazendo um marketing básico, temos duas provas resolvidas (clique AQUI pra ver) da EFOMM que queremos, em breve, ampliar para mais.

Vamos à dúvida:

(EFOMM) Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 \times 3 inversíveis tais que:

\det (A^{-1}) = 3 e \det ((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4

Sabendo-se que I é a matriz identidade de ordem 3, tal que I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}, o determinante de C é igual a:

a) - \frac{8}{3}

b) - \frac{32}{3}

c) -9

d) -54

e) -288

Enviada por Laura Helena

Então vamos lá.

Como queremos o determinante de C e temos uma expressão que relaciona as matrizes A, B e C, vamos começar por aí:

I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}

Multiplicando ambos os lados pela esquerda por -\frac{1}{3}C teremos:

(-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot I = (-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot (-3C^{-1}) \cdot (2B^{-1} + A)^{T}

Resultando em:

(-\frac{1}{3}) \cdot C = I \cdot (2B^{-1} + A)^{T}

Continuando e aplicando a transposta de ambos os lados:

[(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T = 2B^{-1} + A \Rightarrow 2B^{-1} = [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - A

Finalmente:

B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - \frac{1}{2} \cdot A \Rightarrow B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A

Pronto. Sabendo que (AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}, podemos agora trabalhar sobre a expressão dada:

\det((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det (B^{-1} \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4

Da inversa de B que achamos:

\det((\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A) \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}  - \frac{1}{2} \cdot A \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4

Como A \cdot A^{-1} = I, teremos:

\det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}) = 4

Aolicando o Teorema de Binet, clique AQUI para ver o que já falamos disso, e as propriedades envolvendo o determinante da transposta, o determinante de uma matriz multiplicada por um número real e o determinante da inversa, teremos:

(-\frac{1}{6})^3 \cdot \det (C^T) \cdot \det (A^{-1}) = 4

Logo:

-\frac{1}{216} \cdot \det C \cdot 3 = 4 \Rightarrow \det C = -288

Chegando, finalmente (Ufa!) à opção E.

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então \det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B.

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

Q é uma matriz 4 \times 4 tal que \det(Q) < 0 e Q^4 + 2Q^2 = 0, então temos:

a) \det Q = -2

b) \det Q = -4

c) \det Q = -8

d) \det Q = -16

Enviada por Laura Helena

Considerando que 0 representa a matriz nula quadrada de ordem 4, podemos escrever:

Q^4 = -2Q^2

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

\det(Q^4) = \det(-2Q^2)

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se k \in \mathbb{R} e A é matriz quadrada de ordem n, temos:

\det(kA) = k^n \cdot \det A

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2

Como, do enunciado, \det Q < 0, podemos dividir a expressão toda por \det Q:

(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos \det Q = -4.

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.
Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode ajudar doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

Fique a vontade, qualquer AJUDA é bem vinda!

E a melhor ajuda que você pode é DE GRAÇA, GRÁTIS, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa PRA QUEM PRECISA!

Até!

[LSB]