Introdução

A matemática é fantástica – e disso quase ninguém duvida – e permeia nossas pacatas vidas. Para estudantes – e professores – de matemática é sempre bom tomar cuidado com o que se fala e se escreve quando se trata de matemática ou corre-se o risco de criar grandes problemas futuros.

O problema com afirmações inadequadas é tão grande que, às vezes, algumas podem causar estragos no aprendizado. O que vamos fazer aqui é mostrar algumas destas e corrigi-las sempre que possível.

Menos com Menos Dá Mais!

Em primeiro lugar não é “menos com menos” seria mais adequado dizer “menos multiplicado ou dividido por menos” que ainda não está bom, mas fazer o quê? O correto seria:

“O produto ou a divisão de números reais de mesmo sinal resulta em um número real com sinal positivo.”

Exemplos ilustram bem. Vamos supor que tenhamos que calcular a seguinte multiplicação: . Neste caso, o resultado é ou simplesmente . O mesmo ocorreria se fizéssemos . Obviamente, como a própria regra diz, o mesmo vale para a divisão, isto é, .

Mas por que precisamos explicitar a expressão “números reais”? Ora, porque o produto de dois números complexos de parte imaginária positiva pode resultar em um número real negativo, veja que se é a unidade imaginária teremos:

, por definição da unidade imaginária

Assim, quando estamos no ensino médio, falando para alunos que já conhecem o conceito de número real, é muito importante mostrar a noção de que temos que nos limitar ao conjunto dos números reais.

Agora, vistos estes exemplos, alguém poderia pensar:

” — Tudo bem, mas: “

Essa é mole de justificar. Em primeiro lugar, o zero não tem sinal, logo é o mesmo que escrever . Da mesma maneira, .

Portanto, de fato a afirmação está correta, mas veja que, no que falamos, os números precisam ter sinal e eles devem ser iguais.

Para fechar o tópico, vamos a negativa da afirmação:

“O produto ou a divisão de números reais de sinais diferentes resulta em um número real com sinal negativo.”

Podemos escrever então que se e são números reais:

, se e ou  e

E:

, se e ou  e

Vamos ao próximo tópico.

O Dobro de um Número É Par!

Também devemos ter cuidado com esta afirmação. Em primeiro lugar, o que é um número par? Se estivermos falando do contexto de uma divisão que envolve apenas números naturais (dividendo, divisor e quociente) será aquela em que o resto é zero. Assim claro que , por exemplo, é par, uma vez que . Este conceito pode ser estendido aos números inteiros e teremos, assim, que também é par. Basta ver que .

Portanto qual o problema com a afirmação inicial? Justamente o fato de não especificar que o número deve ser inteiro para que a ideia seja válida. A afirmação mais correta é:

“O dobro de um número inteiro qualquer é um número inteiro par.”

Em particular:

“O dobro de um número natural qualquer é um número natural par.”

De forma genérica  (e matemática):

, com , é par

Se você ainda não está convencido da necessidade de o número ser inteiro, eu te dou um exemplo simples: Qual o dobro de ? É , que é um número natural ímpar.

Conjuntos Vazios Não Têm Nenhum Elemento

É comum, em Língua Portuguesa, ouvirmos as pessoas dizerem “– Não tenho nenhum dinheiro.” E você, claro, entende que a pessoa está sem dinheiro. Não há mal algum nisso, porém em matemática as coisas não funcionam bem assim…

Vamos usar a definição dada no início deste tópico:

“Conjunto vazio é aquele que não tem nenhum elemento.”

Basta ver que “nenhum elemento” é o mesmo que “ZERO elementos”. Reescrevendo teríamos:

“Conjunto vazio é aquele que não tem ZERO elementos.”

O problema é que quem não tem ZERO tem ALGUM, logo não pode ser conjunto vazio. Portanto a definição de conjunto vazio deve ser:

“Conjunto vazio é aquele que não tem elementos.”

Ou:

“Conjunto vazio é aquele tem nenhum elemento.”

Matematicamente podemos escrever por compreensão:

Como nenhum número é diferente dele próprio, este conjunto é vazio.

Conclusão

Esta é só uma prévia de afirmações matemáticas que por muitas vezes vêm incompletas ou equivocadas em livros, apostilas e afins e, várias vezes, são divulgadas na internet de maneira errada por motivos.

Gostou desta lista? Tem algo a acrescentar? Escreve aí.

Um grande abraço e até.

[LSB]