Afirmações Matemáticas Perigosas!

Introdução

A matemática é fantástica – e disso quase ninguém duvida – e permeia nossas pacatas vidas. Para estudantes – e professores – de matemática é sempre bom tomar cuidado com o que se fala e se escreve quando se trata de matemática ou corre-se o risco de criar grandes problemas futuros.

O problema com afirmações inadequadas é tão grande que, às vezes, algumas podem causar estragos no aprendizado. O que vamos fazer aqui é mostrar algumas destas e corrigi-las sempre que possível.

Menos com Menos Dá Mais!

Em primeiro lugar não é “menos com menos” seria mais adequado dizer “menos multiplicado ou dividido por menos” que ainda não está bom, mas fazer o quê? O correto seria:

“O produto ou a divisão de números reais de mesmo sinal resulta em um número real com sinal positivo.”

Exemplos ilustram bem. Vamos supor que tenhamos que calcular a seguinte multiplicação: (-2) \times (-5). Neste caso, o resultado é + 10 ou simplesmente 10. O mesmo ocorreria se fizéssemos (+2) \times (+5) = +10. Obviamente, como a própria regra diz, o mesmo vale para a divisão, isto é, (-10) \div (-2) = +5.

Mas por que precisamos explicitar a expressão “números reais”? Ora, porque o produto de dois números complexos de parte imaginária positiva pode resultar em um número real negativo, veja que se i é a unidade imaginária teremos:

i \times i = i^2 = -1, por definição da unidade imaginária

Assim, quando estamos no ensino médio, falando para alunos que já conhecem o conceito de número real, é muito importante mostrar a noção de que temos que nos limitar ao conjunto dos números reais.

Agora, vistos estes exemplos, alguém poderia pensar:

” — Tudo bem, mas: (-0) \times (+1) = +0

Essa é mole de justificar. Em primeiro lugar, o zero não tem sinal, logo (-0) é o mesmo que escrever (-1) \times 0 = 0. Da mesma maneira, +0 = (+1) \times 0 = 0.

Portanto, de fato a afirmação está correta, mas veja que, no que falamos, os números precisam ter sinal e eles devem ser iguais.

Para fechar o tópico, vamos a negativa da afirmação:

“O produto ou a divisão de números reais de sinais diferentes resulta em um número real com sinal negativo.”

Podemos escrever então que se a e b são números reais:

a \cdot b > 0, se a>0 e b>0 ou a<0 e b<0

E:

a \cdot b <0, se a>0 e b<0 ou a<0 e b>0

Vamos ao próximo tópico.

O Dobro de um Número É Par!

Também devemos ter cuidado com esta afirmação. Em primeiro lugar, o que é um número par? Se estivermos falando do contexto de uma divisão que envolve apenas números naturais (dividendo, divisor e quociente) será aquela em que o resto é zero. Assim claro que 12, por exemplo, é par, uma vez que 12 = 2 \times 6 + 0. Este conceito pode ser estendido aos números inteiros e teremos, assim, que -6 também é par. Basta ver que (- 6) = (-3) \times 2 + 0.

Portanto qual o problema com a afirmação inicial? Justamente o fato de não especificar que o número deve ser inteiro para que a ideia seja válida. A afirmação mais correta é:

“O dobro de um número inteiro qualquer é um número inteiro par.”

Em particular:

“O dobro de um número natural qualquer é um número natural par.”

De forma genérica  (e matemática):

2n, com n \in \mathbb{Z}, é par

Se você ainda não está convencido da necessidade de o número ser inteiro, eu te dou um exemplo simples: Qual o dobro de 3,5? É 7, que é um número natural ímpar.

Conjuntos Vazios Não Têm Nenhum Elemento

É comum, em Língua Portuguesa, ouvirmos as pessoas dizerem “– Não tenho nenhum dinheiro.” E você, claro, entende que a pessoa está sem dinheiro. Não há mal algum nisso, porém em matemática as coisas não funcionam bem assim…

Vamos usar a definição dada no início deste tópico:

“Conjunto vazio é aquele que não tem nenhum elemento.”

Basta ver que “nenhum elemento” é o mesmo que “ZERO elementos”. Reescrevendo teríamos:

“Conjunto vazio é aquele que não tem ZERO elementos.”

O problema é que quem não tem ZERO tem ALGUM, logo não pode ser conjunto vazio. Portanto a definição de conjunto vazio deve ser:

“Conjunto vazio é aquele que não tem elementos.”

Ou:

“Conjunto vazio é aquele tem nenhum elemento.”

Matematicamente podemos escrever por compreensão:

\emptyset = \{x \mid x \ne x\}

Como nenhum número é diferente dele próprio, este conjunto é vazio.

Conclusão

Esta é só uma prévia de afirmações matemáticas que por muitas vezes vêm incompletas ou equivocadas em livros, apostilas e afins e, várias vezes, são divulgadas na internet de maneira errada por n motivos.

Gostou desta lista? Tem algo a acrescentar? Escreve aí.

Um grande abraço e até.

[LSB]

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