Afirmações Matemáticas Perigosas!

Introdução

A matemática é fantástica – e disso quase ninguém duvida – e permeia nossas pacatas vidas. Para estudantes – e professores – de matemática é sempre bom tomar cuidado com o que se fala e se escreve quando se trata de matemática ou corre-se o risco de criar grandes problemas futuros.

O problema com afirmações inadequadas é tão grande que, às vezes, algumas podem causar estragos no aprendizado. O que vamos fazer aqui é mostrar algumas destas e corrigi-las sempre que possível.

Menos com Menos Dá Mais!

Em primeiro lugar não é “menos com menos” seria mais adequado dizer “menos multiplicado ou dividido por menos” que ainda não está bom, mas fazer o quê? O correto seria:

“O produto ou a divisão de números reais de mesmo sinal resulta em um número real com sinal positivo.”

Exemplos ilustram bem. Vamos supor que tenhamos que calcular a seguinte multiplicação: $(-2) \times (-5)$ . Neste caso, o resultado é $+ 10$ ou simplesmente $10$ . O mesmo ocorreria se fizéssemos $(+2) \times (+5) = +10$ . Obviamente, como a própria regra diz, o mesmo vale para a divisão, isto é, $(-10) \div (-2) = +5$ .

Mas por que precisamos explicitar a expressão “números reais”? Ora, porque o produto de dois números complexos de parte imaginária positiva pode resultar em um número real negativo, veja que se $i$ é a unidade imaginária teremos:

$i \times i = i^2 = -1$ , por definição da unidade imaginária

Assim, quando estamos no ensino médio, falando para alunos que já conhecem o conceito de número real, é muito importante mostrar a noção de que temos que nos limitar ao conjunto dos números reais.

Agora, vistos estes exemplos, alguém poderia pensar:

” — Tudo bem, mas: $(-0) \times (+1) = +0$ “

Essa é mole de justificar. Em primeiro lugar, o zero não tem sinal, logo $(-0)$ é o mesmo que escrever $(-1) \times 0 = 0$ . Da mesma maneira, $+0 = (+1) \times 0 = 0$ .

Portanto, de fato a afirmação está correta, mas veja que, no que falamos, os números precisam ter sinal e eles devem ser iguais.

Para fechar o tópico, vamos a negativa da afirmação:

“O produto ou a divisão de números reais de sinais diferentes resulta em um número real com sinal negativo.”

Podemos escrever então que se $a$ e $b$ são números reais:

$a \cdot b > 0$ , se $a>0$ e $b>0$ ou $a<0$ e $b<0$

$a \cdot b <0$ , se $a>0$ e $b<0$ ou $a<0$ e $b>0$

Vamos ao próximo tópico.

O Dobro de um Número É Par!

Também devemos ter cuidado com esta afirmação. Em primeiro lugar, o que é um número par? Se estivermos falando do contexto de uma divisão que envolve apenas números naturais (dividendo, divisor e quociente) será aquela em que o resto é zero. Assim claro que $12$ , por exemplo, é par, uma vez que $12 = 2 \times 6 + 0$ . Este conceito pode ser estendido aos números inteiros e teremos, assim, que $-6$ também é par. Basta ver que $(- 6) = (-3) \times 2 + 0$ .

Portanto qual o problema com a afirmação inicial? Justamente o fato de não especificar que o número deve ser inteiro para que a ideia seja válida. A afirmação mais correta é:

“O dobro de um número inteiro qualquer é um número inteiro par.”

Em particular:

“O dobro de um número natural qualquer é um número natural par.”

De forma genérica (e matemática):

$2n$ , com $n \in \mathbb{Z}$ , é par

Se você ainda não está convencido da necessidade de o número ser inteiro, eu te dou um exemplo simples: Qual o dobro de $3,5$ ? É $7$ , que é um número natural ímpar.

Conjuntos Vazios Não Têm Nenhum Elemento

É comum, em Língua Portuguesa, ouvirmos as pessoas dizerem “– Não tenho nenhum dinheiro.” E você, claro, entende que a pessoa está sem dinheiro. Não há mal algum nisso, porém em matemática as coisas não funcionam bem assim…

Vamos usar a definição dada no início deste tópico:

“Conjunto vazio é aquele que não tem nenhum elemento.”

Basta ver que “nenhum elemento” é o mesmo que “ZERO elementos”. Reescrevendo teríamos:

“Conjunto vazio é aquele que não tem ZERO elementos.”

O problema é que quem não tem ZERO tem ALGUM, logo não pode ser conjunto vazio. Portanto a definição de conjunto vazio deve ser:

“Conjunto vazio é aquele que não tem elementos.”

Ou:

“Conjunto vazio é aquele tem nenhum elemento.”

Matematicamente podemos escrever por compreensão:

$\emptyset = \{x \mid x \ne x\}$

Como nenhum número é diferente dele próprio, este conjunto é vazio.

Conclusão

Esta é só uma prévia de afirmações matemáticas que por muitas vezes vêm incompletas ou equivocadas em livros, apostilas e afins e, várias vezes, são divulgadas na internet de maneira errada por $n$ motivos.

Gostou desta lista? Tem algo a acrescentar? Escreve aí.

Um grande abraço e até.

[LSB]

Ponto Médio de 2 Pontos no R²

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Operações com Frações: Adição e Subtração

Introdução

Se a matemática já é a vilã das disciplinas para muita gente, este sem dúvida é um dos temas que mais atormenta e dificulta a vida das pessoas que estão estudando matemática básica.

As operações com frações modificam um pouco a forma de lidar com os números uma vez que a notação usada é diferente dos numerais “comuns” e isto, certamente, é apenas uma das barreiras ao aprendizado das operações com frações.

Para ajudar a diminuir um pouco esta dificuldade e ajudar muita gente, decidi escrever este texto que esclarece alguns pontos importantes sobre as frações. Mas antes de começar, quero deixar claro que, aqui, estamos falando para pessoas que já tiveram contato com números inteiros e entendem o significado de escrever um número negativo tal como $-2$ . Então vamos lá.

A primeira coisa que quero esclarecer é que o sinal de menos em uma fração pode ficar no numerador (“em cima”), no denominador (“embaixo”) ou “a frente” da fração que o resultado representa a mesma fração. Por exemplo, $- \frac{1}{2}$ é o mesmo que $\frac{-1}{2}$ que é o mesmo que $\frac{1}{-2}$ .

Agora vamos ao que interessa.

Adição/Subtração de Frações com o Mesmo Denominador

Se duas ou mais frações possuem o mesmo denominador, podemos operar apenas com os numeradores e repetir o denominador no resultado final:

Exemplo:

$\frac{4}{7} + \frac{1}{7} - \frac{2}{7} = \frac{4+1-2}{7} = \frac{3}{7}$

Repare que escrever $\frac{2}{11} + \frac{3}{11}$ é o mesmo que escrever $\frac{2+3}{11}$ . As regras de operações e suas prioridades de acordo com sinais de associação (parenteses, colchetes e chaves) devem ser mantidas. Vamos à mais um exemplo:

Exemplo:

$-\{\frac{2}{23} - [\frac{3}{23}+(\frac{-1}{23}+\frac{5}{23})]\} =$

Resolvendo a operação dentro dos parenteses teremos:

$= -\{\frac{2}{23} - [\frac{3}{23}+\frac{-1+5}{23}]\} =$

Continuando:

$= -\{\frac{2}{23} - [\frac{3+7}{23}]\} = -\{\frac{2-10}{23}\} = - \frac{-8}{23} = \frac{8}{23}$

Adição/Subtração de Frações com Denominadores Diferentes

Quando os denominadores são diferentes, aí o processo é um pouco mais longo. Primeiro precisamos igualar os denominadores. Mas como? Existe um conceito importante no estudo das frações chamado de frações equivalentes.

Duas frações são ditas equivalentes se representam a mesma parte do todo, isto é, de uma mesma unidade retiramos ou usamos a mesma quantia total. Vamos exemplificar. Se você divide uma pizza em dois pedaços iguais e pega um, neste caso $\frac{1}{2}$ , você terá exatamente a mesma quantia total que se dividi-la em quatro pedaços e pegar dois, ou seja $\frac{2}{4}$ . Logo:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \ldots$

Mas como obtemos frações equivalentes? Simples. Multiplicando (ou dividindo) o numerador e o denominador pelo mesmo fator. Veja que ao usar a fração $\frac{3}{10}$ podemos obter frações equivalentes:

$\frac{3}{10} = \frac{3 \times 2}{10 \times 2} = \frac{6}{20}$

Poderíamos também fazer:

$\frac{10}{20} = \frac{10 \div 10}{20 \div 10} = \frac{1}{2}$

Assim, podemos sempre uma fração equivalente a uma fração dada. Por exemplo, suponhamos que você quisesse resolver o seguinte problema:

Encontrar uma fração equivalente a $\frac{3}{13}$ com denominador $39$ .

Para resolvê-lo, basta verificar por qual fator devemos multiplicar $13$ para obtermos $39$ . É claro que basta fazer $39 \div 13 = 3$ e, depois, multiplicar numerador e denominador por este fator:

$\frac{3}{13} = \frac{3 \times 3}{13 \times 3} = \frac{9}{39}$

Então, afinal, como podemos operar com frações de denominadores diferentes? Encontrando frações equivalentes para cada uma delas de modo que todas tenham o mesmo denominador. A maneira mais simples de fazer isso é escolher frações equivalentes as primeira com um denominador que é igual ao produto dos denominadores das frações originais. Por exemplo, vamos escrever duas frações respectivamente equivalentes a $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

Como vimos, podemos usar $2 \cdot 3 = 6$ como o novo denominador de cada uma. Agora a pergunta é: e o novo numerador de cada fração? Para saber o novo numerador, de modo que a nova fração seja equivalente a anterior, multiplicamos o numerador antigo pelo resultado da divisão do novo denominador pelo velho denominador:

Assim, para a fração $\frac{1}{2}$ , como o novo denominador é $6$ , temos $6 \div 2 = 3$ e este fator multiplica o antigo numerador, resultando na fração $\frac{3}{6}$ , veja que $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Fazendo o mesmo para a fração $\frac{1}{3}$ , teremos $6 \div 3 = 2$ e a nova fração será $\frac{2}{6}$ .

Fica então fácil efetuar a conta $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$ . Como vimos, o primeiro passo é encontrar o denominador comum que pode ser o produto dos antigos denominadores: $3 \times 5 = 15$ . Agora dividimos $15$ por cada denominador antigo e multiplicamos o respectivo resultado pelo antigo numerador de cada uma, obtendo novas frações, porém equivalentes às primeiras, veja:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}$

Agora, e para três ou mais frações? Podemos usar o mesmo processo. Vejamos o exemplo a seguir.

Exemplo: Calcular o valor de $\frac{1}{2} + \frac{7}{4} - \frac{3}{8}$ .

Vamos ao processo. Primeiro, multiplicar os denominadores:

$2 \times 4 \times 8 = 64$

Agora dividimos este valor por cada denominador e multiplicamos o resultado pelo respectivo numerador, obtemos então:

$\frac{1 \times 32}{64} + \frac{7 \times 16}{64} - \frac{3 \times 8}{64} =$

Continuando:

$= \frac{32 + 112 - 24}{64} = \frac{120}{64} = \frac{15}{8}$

Usando o m.m.c.

O método apresentado funciona, sempre. Porque decorre da definição de fração equivalente. Mas pode ser trabalhoso, principalmente se os denominadores forem números de maior grandeza. Experimente o método anterior para resolver a seguinte expressão:

$\frac{7}{36} - \frac{19}{54}$

Certamente, você terá algum trabalho, pois $36 \times 54 = 1944$ . Assim, podemos usar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores para achar um novo denominador o que diminui consideravelmente o esforço. Veja que $\textrm{mmc}\,(36,54) = 108$ . Portanto o novo denominador é $108$ e podemos seguir como anteriormente:

$\frac{7}{36} - \frac{19}{54} = \frac{7 \cdot 3}{108} - \frac{2 \cdot 19}{108} = \frac{21 - 38}{108} = -\frac{17}{108}$

Assim, o processo usando o mínimo múltiplo comum torna a conta menor e, de certa maneira, facilita-o. Vamos retomar um exemplo anterior para ilustrar a facilidade de usar o m.m.c:

Exemplo: Calcular o valor de $\frac{1}{2} + \frac{7}{4} - \frac{3}{8}$ .

Como $8$ é múltiplo de $2$ e $4$ , o $\textrm\,(2,4,8) = 8$ e podemos seguir como antes, com o novo denominador sendo $8$ .

$\frac{(1 \times 4) + (7 \times 2) - (3 \times 1)}{8} = \frac{4+14-3}{8} = \frac{15}{8}$

Repare que as contas são muito “menores” neste caso.

Conclusão

Dá para automatizar este processo, ou seja, existe uma fórmula? Sim, podemos escrevê-la como segue:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{[\textrm{mmc}\,(b,d) \div b] \times a + [\textrm{mmc}\,(b,d)\div d] \times c}{\textrm{mmc}\,(b,d)}$

Claro que, aqui, consideramos $b \cdot d \ne 0$ . E, ainda, se houver mais que duas frações, basta agrupá-las de duas em duas e fazer o mesmo acima.

Se quiser fazer exercícios sobre este assunto vá até a nossa página de exercícios. Lá você encontrará destes e de muitos outros.

Tem dúvida, sugestão ou reclamação? Mande-nos um e-mail: mentor.contato@gmail.com.

Até.

[LSB]

Distância Entre 2 Pontos no Plano Cartesiano

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Demonstração: Ponto Médio Entre 2 Pontos no Plano Cartesiano

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Um Meio Mais um Terço São Dois Quintos? Desafio #13

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7 Dúvidas Comuns Sobre Radiciação

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Música: Drops of H20 – DJ Lang

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