Qual a Diferença Entre o Total de Quadrados e o Total de Triângulos?

Neste post trazemos uma das questões de nosso simulado diagnóstico. A pergunta em questão é a número 7. Este tipo de problema aparece muito em provas dos Colégios Militares e em Olimpíadas de Matemática.

O simulado diagnóstico serve essencialmente para entender qual o nível de conhecimento dos alunos que estão conosco. Feito em várias etapas de nossos cursos, este tipo de avaliação traz informações valiosas sobre a bagagem anterior ao próprio curso. Isto nos permite adequar a ementa do curso a realidade do aluno.

Se você quiser ver o arquivo original da prova de matemática, veja a seguir e, caso queira baixa-la, clique no link logo abaixo:

Simulado Diagnóstico de Matemática Baixar

E aí? O que achou das questões? E do nível geral da prova? Tem dúvida em alguma outra questão deste diagnóstico?

E você, por acaso, já tinha visto um problema deste tipo em algum concurso (militar ou não)? Conte-nos nos comentários a seguir e acompanhe-nos por aqui ou no YouTube e nas redes sociais.

Até a próxima!

[LSB]

Um Problema de Desigualdades e Divisibilidade

Segue um problema trazido por um de nossos alunos, cujo enunciado segue na imagem abaixo:

Problemas como esse, que envolvem desigualdades (inequações) e algumas observações sobre o conjunto universo das soluções, bem como a divisibilidade envolvendo as parcelas, são comuns na prova da Escola Naval, por exemplo.

Este, de forma geral não é difícil. Sugerimos que você tente resolver antes de ver a solução. Que segue abaixo. Mas, não perca muito tempo. Caso tenha dificuldade, venha ver a solução.

E aí, conseguiu? Já tinha visto um problema como esse? Conte para nós nos comentários.

Dúvida enviada por Leonardo Lourenço Errera.

Até a próxima.

[LSB]

Problema da Semana #9: Somando Raízes

Estamos de volta com mais um problema da semana. Desta vez, trazemos uma equação que mistura potenciação e equações do segundo grau do antigo concurso direto para a Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN). Veja:

(AMAN — 1984) Calcular a soma das raízes da equação:

$2^{x^2} = 32(2^{3x-7})$

a) $3$

b) $2$

c) $-3$

d) $-2$

e) N.R.A.

Agora é com você, mãos a obra e até breve!

[LSB]

Problema da Semana #8: Solução e Comentários

Olá, estamos de volta trazendo a solução do problema da semana #8. O problema foi adaptado do livro The Standford Mathematics Problem Book – Hints and Solutions do G. Polya e J. Kilpatrick.

Este é um problema clássico de sistemas de equações que seguem um determinado padrão de repetição. Isto é muito cobrado principalmente pelos concursos do Colégio Naval, Escola Naval, EFOMM que, repare, todos são da Marinha do Brasil (nada é por acaso!). Segue o enunciado:

Encontrar valores $x$ , $y$ , $z$ e $w$ , tais que:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z &=& 4 \\ y + z + w &=& -5 \\ w + z + x &=& 0 \\ w + x + y &=& -8 \end{array}\right.$

E calcule o valor de $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ .

Vamos então falar da solução. Perceba que é possível solucionar isolando cada incógnita até que se tenha apenas uma equação com uma incógnita. Mas isso levaria muito mais tempo. Há um caminho mais simples. Basta somar todas as equações membro a membro e ficamos com:

$3x + 3y + 3z + 3w = -9 \Leftrightarrow x + y + z + w = -3$

Daí, basta perceber, da primeira equação, que $x + y + z = 4$ , portanto $w = -7$ . Na segunda equação $y + z + w = -5$ , logo $x = 2$ . Tendo $w$ e $x$ , na terceira equação teremos $z = 5$ , Finalmente, $2 + y + 5 - 7 = -3 \Leftrightarrow y = -3$ . Então:

$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 2^2 + (-3)^2 + 5^2 + (-7)^2 = 4+9+25+49 = 87$

Fica então a dica: sistemas nos quais cada equação é semelhante às demais, omitindo apenas uma (ou mais variáveis) de forma similar basta verificar se é possível adicionar (ou multiplicar) as equações e obter um “atalho”.

Resolveram este problema:

Alef
Gustavo
Arthur Rocha
@mariopersico_
Ygor Farias
Iuri Henrique
Davi do Nascimento Teles Barata
Micael França
Ygor Gabriel

Listagem de problemas resolvidos até agora:

(3) Ygor Gabriel
(2) Yasmim Silva
(2) Ygor Farias
(1) Arthur Rocha
(1) Alef
(1) Iuri Henrique
(1) Gustavo
(1) @mariopersico_
(1) Davi do Nascimento Teles Barata
(1) Micael França

Vamos pra cima, em breve, o problema da próxima semana. Continuem estudando, até mais.
[LSB]

Um Problema do ITA: Cinemática Escalar

Existem muitos problemas de cinemática elementar que são muito difíceis. Especialmente quando os cronômetros de dois objetos não estão sincronizados, fazendo com que seus instantes iniciais de contagem de tempo sejam diferentes.

Trazemos então o seguinte problema, do ITA, um vestibular extremamente difícil que exige um alto nível de conhecimento de seus candidatos nas áreas de Matemática, Física, Química, Língua Portuguesa e Lingua Inglesa. Segue o enunciado do problema:

Um móvel $A$ parte da origem $O$ , com velocidade inicial nula, no instante $t_0 = 0$ e percorre o eixo $Ox$ com aceleração constante $a$ . Após um intervalo de tempo $\Delta t$ , contado a partir da saída de $A$ , um segundo móvel $B$ parte de $O$ com uma aceleração igual a $n \cdot a$ , sendo $n > 1$ . $B$ alcançará $A$ no instante:

a) $t = \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1} + 1\right)\Delta t$

b) $t = \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1} - 1\right)\Delta t$

c) $t = \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right)\Delta t$

d) $t = \left(\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}}\right)\Delta t$

e) $t = \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}\right)\Delta t$

O móvel $A$ move-se a partir do repouso com aceleração $a$ , o que ocorre durante um $\Delta t$ , ou seja, seus espaços em função do tempo ficam dados pela equação:

$S_A = S_{0_A} + v_{0_A} \Delta t_A + \frac{a}{2} (\Delta t_A)^2$

Para o móvel $B$ teremos:

$S_B = S_{0_B} + v_{0_B} (\Delta t_B) + \frac{n \cdot a}{2} (\Delta t_B)^2$

Sabemos que o móvel $A$ partiu do repouso, portanto $v_{0_A} = 0$ e queremos saber em que instantes $A$ e $B$ se encontrarão, ou seja, quando teremos $S_A = S_B$ , assim:

$S_A = S_B \Leftrightarrow S_{0_A} + \frac{a}{2} (\Delta t_A)^2 = S_{0_B} + v_{0_B} (\Delta t_B) + \frac{n \cdot a}{2} (\Delta t_B)^2$

Como $A$ e $B$ partem do mesmo ponto temos $S_{0_A} = S_{0_B}$ e, então:

$\frac{a}{2} (\Delta t_A)^2 = v_{0_B} (\Delta t_B) + \frac{n \cdot a}{2} (\Delta t_B)^2$

Agora faremos uma suposição crucial: a de que $v_{0_B} = 0$ , admitindo que $B$ também partiu do repouso, daí:

$\frac{a}{2} (\Delta t_A)^2 = \frac{n \cdot a}{2} (\Delta t_B)^2$

Então, como $n \cdot a \geq 0$ , teremos:

$\sqrt{\frac{a}{2}} \cdot \Delta t_A = \sqrt{\frac{n \cdot a}{2}} (\Delta t_B) \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{2}} \cdot \Delta t_A = \sqrt{n} \cdot \sqrt{\frac{a}{2}} (\Delta t_B)$

Simplificando $\sqrt{\frac{a}{2}}$ em ambos os membros teremos:

$\Delta t_A = \sqrt{n} \cdot (\Delta t_B)$

Chegamos onde queríamos. Veja que $\Delta t_A = t - t_{0_A}$ e que $t_{0_A} = 0$ , ou seja, $\Delta t_A = t$ . Por outro lado, $\Delta t_B = t - t_{0_B}$ e $t_{0_B} = \Delta t$ , portanto $\Delta t_B = t - \Delta t$ ; assim:

$t = \sqrt{n} (t - \Delta t) \Leftrightarrow t = \sqrt{n} \cdot t - \sqrt{n} \cdot \Delta t$

Finalmente, podemos escrever: $\sqrt{n} \cdot t - t = \sqrt{n} \Delta t$ . Ou como aparece nas opções:

$t = \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1}\right) \Delta t$

Opção E.

O problema foi enviado por Arthur Rocha.

Até a próxima.

[LSB]

Conversão de Bases de Numeração

Segue a dúvida de um de nossos alunos a respeito de sistemas de bases de numeração. O assunto costuma ser cobrado no Colégio Naval e na EPCAr além de outras provas (concursos) e, justamente por isso, vamos comentar a solução deste problema aqui. Eis a pergunta:

O número $(24,3)_5$ corresponde na base $10$ a:

a) $14,8$

b) $15,6$

c) $14,6$

d) $13,8$

e) $13,6$

Como sabemos, para passar da base $b$ para a base $10$ só precisamos “expandir” o número na base dada e realizar os cálculos na base $10$ . Então, para o número dado, teríamos:

$(24,3)_5 = 2 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 + 3 \cdot 5^{-1}$

Veja que a parte decimal começa a ter os expoentes inteiros negativos, seguindo a partir do zero que é o expoente da base correspondente à ordem das unidades. Então, desenvolvendo:

$(24,3)_5 = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} = 10 + 4 + \frac{3}{5}$

Como $\frac{3}{5} = 0,6$ , teremos $(24,3)_5 = 14,6$ , ou seja, opção C.

Entendeu? Então tente converter, por exemplo, $(111,01)_2$ para a base $10$ e me conte o que encontrou nos comentários abaixo.

Um grande abraço e nos vemos por aí.

[LSB]

A Verdadeira e Única Parábola

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Até a próxima!

[LSB]

LIVE: UERJ 2022 Matemática e Outros

Olá leitores, estamos de volta com mais uma LIVE. Nesta, trazemos todas as questões da UERJ integralmente resolvidas para vocês. Vamos aos links da semana:

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Abaixo você tem o “quadro” com as soluções das questões da LIVE: