Tira-Teima #7

Segue um problema de geometria plana; simples, mas interessante.

Quesemos encontrar o valor de $overline{AB}$ . A solução segue abaixo:

Até a próxima dúvida e boa semana!

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Problema da Semana #8: Solução e Comentários

Olá, estamos de volta trazendo a solução do problema da semana #8. O problema foi adaptado do livro The Standford Mathematics Problem Book – Hints and Solutions do G. Polya e J. Kilpatrick.

Este é um problema clássico de sistemas de equações que seguem um determinado padrão de repetição. Isto é muito cobrado principalmente pelos concursos do Colégio Naval, Escola Naval, EFOMM que, repare, todos são da Marinha do Brasil (nada é por acaso!). Segue o enunciado:

Encontrar valores $x$ , $y$ , $z$ e $w$ , tais que:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z &=& 4 \\ y + z + w &=& -5 \\ w + z + x &=& 0 \\ w + x + y &=& -8 \end{array}\right.$

E calcule o valor de $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ .

Vamos então falar da solução. Perceba que é possível solucionar isolando cada incógnita até que se tenha apenas uma equação com uma incógnita. Mas isso levaria muito mais tempo. Há um caminho mais simples. Basta somar todas as equações membro a membro e ficamos com:

$3x + 3y + 3z + 3w = -9 \Leftrightarrow x + y + z + w = -3$

Daí, basta perceber, da primeira equação, que $x + y + z = 4$ , portanto $w = -7$ . Na segunda equação $y + z + w = -5$ , logo $x = 2$ . Tendo $w$ e $x$ , na terceira equação teremos $z = 5$ , Finalmente, $2 + y + 5 - 7 = -3 \Leftrightarrow y = -3$ . Então:

$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 2^2 + (-3)^2 + 5^2 + (-7)^2 = 4+9+25+49 = 87$

Fica então a dica: sistemas nos quais cada equação é semelhante às demais, omitindo apenas uma (ou mais variáveis) de forma similar basta verificar se é possível adicionar (ou multiplicar) as equações e obter um “atalho”.

Resolveram este problema:

Alef
Gustavo
Arthur Rocha
@mariopersico_
Ygor Farias
Iuri Henrique
Davi do Nascimento Teles Barata
Micael França
Ygor Gabriel

Listagem de problemas resolvidos até agora:

(3) Ygor Gabriel
(2) Yasmim Silva
(2) Ygor Farias
(1) Arthur Rocha
(1) Alef
(1) Iuri Henrique
(1) Gustavo
(1) @mariopersico_
(1) Davi do Nascimento Teles Barata
(1) Micael França

Vamos pra cima, em breve, o problema da próxima semana. Continuem estudando, até mais.
[LSB]

Tira-Teima #8: Problemas do Primeiro Grau

Questão enviada por Ederson Ferreira

(CONED-CASTANHAL 2009-PA) João, Pedro e Marcos são amigos e trabalham juntos. Sabe-se que João e Pedro trabalham juntos constroem um muro em $5$ dias. Trabalhando juntos João e Marcos levam $6$ dias para construir o mesmo muro. Pedro e Marcos, juntos levam $15$ dias para construir o mesmo muro. Podemos afirmar que Marcos trabalhando sozinho, levará para fazer o mesmo muro: