Aplicação da Identidade de Polinômios

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0

É idêntico a

P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0

Somente se a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, \ldots, a_0 = b_0. Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão \frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}, em que a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2 são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de x.

Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de x, ela sempre assume um valor k \in \mathbb{R} para qualquer x \in \mathbb{R}. Assim, teremos:

\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k

E, portanto:

a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2

Ou seja, da identidade de polinômios:

a_1 = ka_2, b_1 = kb_2 e c_1 = kc_2

Fica claro que:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

Por exemplo, veja só:

Seja k = 2 e, vamos escolher os coeficientes: \frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2 para todo x \in \mathbb{R} - \{-1\}, porque -1 é raiz do denominador, obviamente.

Espero ter ajudado.

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[LSB]

Novas listas de exercícios: Probabilidades, Regra de Três e Funções

Olá a todos os nossos leitores,

ontem era para termos publicado uma videoaula, mas graças a problemas pessoais eu não consegui terminar de editar o vídeo… para compensar a “mancada” publicamos hoje, em edição extraordinária, três novas listas de exercícios: Probabilidades, Regra de Três e Funções.

A lista de probabilidades contém bons exercícios, em um nível não trivial; as outras duas já são mais básicas.

Para baixar vá até Downloads > Listas de Exercícios e clique no link.

Aquele [  ], até 4ª que vem ou até outro plantão extraórdinário…

Equipe Mentor.