Proporção – Mentor

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

$P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

É idêntico a

$P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0$

Somente se $a_n = b_n$ , $a_{n-1} = b_{n-1}$ , $\ldots$ , $a_0 = b_0$ . Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão $\frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$ , em que $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de $x$ .
Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de $x$ , ela sempre assume um valor $k \in \mathbb{R}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$ . Assim, teremos:

$\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k$

E, portanto:

$a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2$

Ou seja, da identidade de polinômios:

$a_1 = ka_2$ , $b_1 = kb_2$ e $c_1 = kc_2$

Fica claro que:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$

Por exemplo, veja só:

Seja $k = 2$ e, vamos escolher os coeficientes: $\frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2$ para todo $x \in \mathbb{R} - \{-1\}$ , porque $-1$ é raiz do denominador, obviamente.