CARNAVAL. Hidrate com Suco de Divisibilidade Concentrado no Sabor Colégio Naval!

Não é de hoje que a prova do Colégio Naval adora uma aritmética elementar em alto nível. E como estamos em clima de carnaval por aqui, resolvi soltar uma ~~pequena~~ lista com alguns problemas essenciais para você que está estudando este assunto.

2_3_MAT_9_1_MIL_Divisibilidade_LNS Baixar

Lembrando que, em certo grau, este assunto também serve para você aluno da EPCAr que está estudando a divisão no conjunto dos números naturais e os critérios de divisibilidade.

Segue então essa lista, para você se divertir em “ritmooo, ritmo de festaaaa…” como diria o icônico Silvio Santos.

Bom carnaval e, qualquer dúvida conte com a gente.

Uma Nova Solução, para um Problema Antigo!

Na última postagem falamos sobre um problema cuja solução envolvia o impulso e a quantidade de movimento (ou momento linear). Mas será que há outra solução? E a resposta é: sim! Há outra solução. Mas antes vamos relembrar qual o enunciado. Segue:

(MACK-SP) Um corpo em repouso e de $1,0$ t de massa é submetido a uma resultante de forças, com direção constante, cuja intensidade varia em função do tempo ( $t$ ) segundo a função $F = 200 t$ , no sistema MKS, a partir do instante zero. A velocidade escalar desse corpo no instante $t = 10$ s vale:

a) $3,6$ km/h.

b) $7,2$ km/h.

c) $36$ km/h.

d) $72$ km/h.

e) $90$ km/h.

Vamos fazer o seguinte: primeiro vamos encontrar o formato da aceleração em função do tempo, que neste caso, obviamente, não será constante:

$\vec{F} = m\vec{a} \Leftrightarrow 200 t = m \cdot a$

Como $m = 1000$ kg, teremos $a = 0,2t$ (S.I.), cujo gráfico segue na imagem a seguir.

Agora vem uma parte importante: como $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ a área entre o gráfico de $a$ em função do tempo e o eixo horizontal representa a variação de velocidade. Em outras palavras, se $a = \dfrac{dv}{dt}$ , então $dv = a \, dt$ e:

$\int_0^t dv = \int_0^t a dt \Leftrightarrow v = \int_0^t a\, dt \Leftrightarrow v = \int_0^t 0,2t\, dt$

Que representa a variação de velocidade entre os instantes $0$ e $t$ . Assim, a área será de $\dfrac{10 \times 2}{2} = 10$ m/s ou $36$ km/h. Veja que na integral teríamos o mesmo:

$v = \int_0^t 0,2t\, dt = 0,2\left.\frac{t^2}{2}\right \vert_0^{10} = 0,1 \cdot (10^2 - 0^2) = 10$ m/s

Assim, é possível termos o mesmo valor final usando tanto a integral quanto apenas a área abaixo da curva $a \times t$ .

Esta solução foi proposta por Diego Gorito, com algumas adaptações minhas para incluir a parte de cálculo e atende ao Matheus Teixeira que queria uma solução que não envolvesse o impulso.

Até próxima pessoal!

[LSB]

Teorema do Impulso. Você sabe aplicar?

Um teorema comum utilizado em física básica afirma que o impulso causado por uma força equivale a variação de seu momento linear. A questão a seguir da Mackenzie usa este teorema de forma interessante.

(MACK-SP) Um corpo em repouso e de $1,0$ t de massa é submetido a uma resultante de forças, com direção constante, cuja intensidade varia em função do tempo ( $t$ ) segundo a função $F = 200 t$ , no sistema MKS, a partir do instante zero. A velocidade escalar desse corpo no instante $t = 10$ s vale:

a) $3,6$ km/h.

b) $7,2$ km/h.

c) $36$ km/h.

d) $72$ km/h.

e) $90$ km/h.

O mais importante é perceber que a força, nesse caso é variável, dada por $F(t) = 200t$ , ocasionando o gráfico abaixo:

Assim, precisamos usar a força média, uma vez que o impulso total de uma força é igual a variação da quantidade de movimento (ou do momento linear). Repare que, neste caso, a direção da força é constante, facilitando parcialmente nossa análise.

Assim, teremos:

$\int_0^t \vec{F}\,dt = \Delta \vec{Q}$

Ou seja, a área abaixo do gráfico $F \times t$ é igual à variação de momento linear unidimensional (em uma única direção). Daí, como $F = 200t$ e $t = 10$ s, teremos $F = 2000$ N e, por conta disso:

$\dfrac{10 \times 2000}{2} = m \cdot (v - v_0) \Leftrightarrow \dfrac{10 \times 2000}{2} = 1000 \cdot (v - 0) \Leftrightarrow 1000 = 1000 v$

Ou seja, a velocidade final é de $v = 10$ m/s e, finalmente, passando para km/h teremos $10 \times 3,6 = 36$ km/h. Opção C.

E aí, acertou essa?

Se sim, parabéns; se não, bora para a próxima!

[LSB]

Vamos Racionalizar a Série a Seguir… “Vai que…”

Sejam bem vindos! Hoje trazemos uma interessante questão sobre radiciação proposta pelo grande mestre Losano em uma de suas avaliações:

Calcule o valor da expressão numérica $\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$ .

Sabe fazer? Bem, vale a pena tentar… Se já tentou (~~ou nem quer tentar~~), vamos lá. Vejamos uma solução que não seja sair calculando o mínimo múltiplo comum de todos os denominadores.

A ideia deste problema é a racionalização de denominadores, o que vai gerar uma espécie de série telescópica (se não sabe o que é isso, sem problema!). Assim, vamos racionalizar o denominador de cada parcela, ficando com:

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$

Agora lembre-se que $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ e aplique isso em cada parcela da soma anterior para cada denominador. Teremos:

$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

Agora, desenvolvendo cada denominador:

$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6-5} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{5-4} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4-3} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} + \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}$

A partir disso:

$\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1$

Simplificando os termos semelhantes, teremos: $\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 1$

Ufa! Agoooooora… como acreditamos que ela poderia ser, para ficar elegante:

Calcule o valor da expressão numérica $\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} + \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$ .

Assim, teríamos, ja parte da racionalização dos denominadores:

$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} + \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

Ou seja, mais uma vez, todos os denominadores seriam iguais a $1$ e:

$\sqrt{6} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = \sqrt{6} - 1$

Portanto, muito (ou não…) mais elegante (modéstia a parte, claro!).

Tmj, mestre Losano.

Até próxima galera!

[LSB]

Segmentos e Seus Pontos Médios: Um Bom Desenho Sempre Ajuda!

Olá, hoje trago um problema proposto como dúvida por uma aluna. O problema envolve apenas o conceito de ponto médio de segmentos e as medidas de alguns segmentos adjacentes. O enunciado não traz a figura e, por isso, desenhar uma boa figura já ajuda em boa parte para resolver o problema.

Segue o enunciado abaixo.

Antes de ver a solução, tente resolver sozinho. O conceito de segmento de reta é simples e faz parte do início do estudo da geometria plana. É importante para formular e resolver problemas e ajuda em várias áreas como, por exemplo, trigonometria e/ou geometria analítica.

Se você já tentou resolver e não conseguiu, segue abaixo a solução. Mas é importante tentar, lembre-se que a dúvida é o start importante para a construção do conhecimento.

E aí, acertou?

Mande seus comentários para nós!

[LSB]

Qual a Diferença Entre o Total de Quadrados e o Total de Triângulos?

Neste post trazemos uma das questões de nosso simulado diagnóstico. A pergunta em questão é a número 7. Este tipo de problema aparece muito em provas dos Colégios Militares e em Olimpíadas de Matemática.

O simulado diagnóstico serve essencialmente para entender qual o nível de conhecimento dos alunos que estão conosco. Feito em várias etapas de nossos cursos, este tipo de avaliação traz informações valiosas sobre a bagagem anterior ao próprio curso. Isto nos permite adequar a ementa do curso a realidade do aluno.

Se você quiser ver o arquivo original da prova de matemática, veja a seguir e, caso queira baixa-la, clique no link logo abaixo:

Simulado Diagnóstico de Matemática Baixar

E aí? O que achou das questões? E do nível geral da prova? Tem dúvida em alguma outra questão deste diagnóstico?

E você, por acaso, já tinha visto um problema deste tipo em algum concurso (militar ou não)? Conte-nos nos comentários a seguir e acompanhe-nos por aqui ou no YouTube e nas redes sociais.

Até a próxima!

[LSB]

Um Problema de Desigualdades e Divisibilidade

Segue um problema trazido por um de nossos alunos, cujo enunciado segue na imagem abaixo:

Problemas como esse, que envolvem desigualdades (inequações) e algumas observações sobre o conjunto universo das soluções, bem como a divisibilidade envolvendo as parcelas, são comuns na prova da Escola Naval, por exemplo.

Este, de forma geral não é difícil. Sugerimos que você tente resolver antes de ver a solução. Que segue abaixo. Mas, não perca muito tempo. Caso tenha dificuldade, venha ver a solução.

E aí, conseguiu? Já tinha visto um problema como esse? Conte para nós nos comentários.

Dúvida enviada por Leonardo Lourenço Errera.

Até a próxima.

[LSB]

Problema da Semana #9: Somando Raízes

Estamos de volta com mais um problema da semana. Desta vez, trazemos uma equação que mistura potenciação e equações do segundo grau do antigo concurso direto para a Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN). Veja:

(AMAN — 1984) Calcular a soma das raízes da equação:

$2^{x^2} = 32(2^{3x-7})$

a) $3$

b) $2$

c) $-3$

d) $-2$

e) N.R.A.

Agora é com você, mãos a obra e até breve!

[LSB]

Problema da Semana #8: Solução e Comentários

Olá, estamos de volta trazendo a solução do problema da semana #8. O problema foi adaptado do livro The Standford Mathematics Problem Book – Hints and Solutions do G. Polya e J. Kilpatrick.

Este é um problema clássico de sistemas de equações que seguem um determinado padrão de repetição. Isto é muito cobrado principalmente pelos concursos do Colégio Naval, Escola Naval, EFOMM que, repare, todos são da Marinha do Brasil (nada é por acaso!). Segue o enunciado:

Encontrar valores $x$ , $y$ , $z$ e $w$ , tais que:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z &=& 4 \\ y + z + w &=& -5 \\ w + z + x &=& 0 \\ w + x + y &=& -8 \end{array}\right.$

E calcule o valor de $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ .

Vamos então falar da solução. Perceba que é possível solucionar isolando cada incógnita até que se tenha apenas uma equação com uma incógnita. Mas isso levaria muito mais tempo. Há um caminho mais simples. Basta somar todas as equações membro a membro e ficamos com:

$3x + 3y + 3z + 3w = -9 \Leftrightarrow x + y + z + w = -3$

Daí, basta perceber, da primeira equação, que $x + y + z = 4$ , portanto $w = -7$ . Na segunda equação $y + z + w = -5$ , logo $x = 2$ . Tendo $w$ e $x$ , na terceira equação teremos $z = 5$ , Finalmente, $2 + y + 5 - 7 = -3 \Leftrightarrow y = -3$ . Então:

$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 2^2 + (-3)^2 + 5^2 + (-7)^2 = 4+9+25+49 = 87$

Fica então a dica: sistemas nos quais cada equação é semelhante às demais, omitindo apenas uma (ou mais variáveis) de forma similar basta verificar se é possível adicionar (ou multiplicar) as equações e obter um “atalho”.

Resolveram este problema: