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Uma Pequena Lista sobre Introdução à Trigonometria

Trigonometria

Segue uma pequena lista de exercícios sobre o início da trigonometria envolvendo a parte inicial de círculo trigonométrico, arcos côngruos e arcos notáveis. Além disso, há alguns exercícios simples de trigonometria no triângulo retângulo. Segue a lista:

4_4_MAT_ALL_Exercicios_Gerais_Trigonometria_LNSBaixar

Abaixo seguem as soluções dos problemas:

Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Questão 5
Questão 6
Questão 7
Questão 8
Questão 9
Questão 10

É isso! Espero que seja útil para vocês.

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Veja mais alguns de nossos conteúdos:

Até a próxima!

[LSB]

Conversão de Bases de Numeração

Segue a dúvida de um de nossos alunos a respeito de sistemas de bases de numeração. O assunto costuma ser cobrado no Colégio Naval e na EPCAr além de outras provas (concursos) e, justamente por isso, vamos comentar a solução deste problema aqui. Eis a pergunta:

O número (24,3)_5 corresponde na base 10 a:

a) 14,8

b) 15,6

c) 14,6

d) 13,8

e) 13,6

Como sabemos, para passar da base b para a base 10 só precisamos “expandir” o número na base dada e realizar os cálculos na base 10. Então, para o número dado, teríamos:

(24,3)_5 = 2 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 + 3 \cdot 5^{-1}

Veja que a parte decimal começa a ter os expoentes inteiros negativos, seguindo a partir do zero que é o expoente da base correspondente à ordem das unidades. Então, desenvolvendo:

(24,3)_5 = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} = 10 + 4 + \frac{3}{5}

Como \frac{3}{5} = 0,6, teremos (24,3)_5 = 14,6, ou seja, opção C.

Entendeu? Então tente converter, por exemplo, (111,01)_2 para a base 10 e me conte o que encontrou nos comentários abaixo.

Um grande abraço e nos vemos por aí.

[LSB]

Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto \{1;2;3;\ldots;2020\}, qual a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?

a) \frac{40}{101}

b) \frac{153}{1010}

c) \frac{293}{1010}

d) \frac{401}{1010}

e) \frac{76}{505}

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se \textrm{mdc} (a,b) = 1. O m.d.c. entre dois números naturais vale 1 se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, 9 e 16 são primos entre si, pois veja que 9 = 3^2 e 16 = 2^4.

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por 2; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando 2020, encontramos 2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101. Ou seja, todos os múltiplos de 2, 5 ou 101 não serão primos com 2020, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que 1.

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de 2. Eles são em número M(2) = 1010. Para 5, temos M(5) = 404. Finalmente, para 101, ficamos com M(101) = 20.

Agora, ao somarmos estes valores, teremos M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434. Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de 10, por exemplo, são múltiplos de 2 e de 5 também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de 2 e de 5 são os múltiplos de 10, e são M(10) = 202. Para os múltiplos de 2 e de 101, teremos M(202) = 10; e, finalmente, os múltiplos de 5 e de 101 são em número total de M(505) = 4. Estes serão excluídos. O total é M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216.

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de 2, 5 e 101, que serão os múltiplos de 1010. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então M(1010) = 2.

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com 2020, não sendo primos com 2020. Assim, eles são 1434 - 216 + 2 = 1220 no total. Como são 2020 números no total, temos 2020 - 1220 = 800 números que são primos entre si com 2020. Agora, temos a probabilidade:

P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}

Opção A.

E aí, gostou.

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[LSB]

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