Parábolas no Plano

Olá, leitores!

Hoje chegou aqui até mim uma dúvida envolvendo parábolas no plano cartesiano. Pra simplificar, a pergunta é a que segue:

(AFA — Adaptada) A distância entre o vértice e o foco da parábola y^2 + 4x - 4 = 0 é igual a 1 unidade de comprimento.

Alexandre Luis

Antes de sair respondendo, vamos ver como é o formato de uma parábola no plano cartesiano. Se a parábola tem eixo de simetria paralelo ao eixo Oy teremos:

(y - y_0) = \frac{1}{2p}(x - x_0)^2

Em que (x_0, y_0) são as coordenadas do vértice V, p é chamado de parâmetro da parábola e corresponde à distância entre o foco F(x_F,y_F) da parábola e a reta diretriz y = d com d = y_0 - \frac{p}{2}. Além disso, as coordenadas do foco são F(x_0, y_0 + \frac{p}{2}).

Por outro lado, se o eixo de simetria é paralelo à Ox teremos:

(x - x_0) = \frac{1}{2p}(y - y_0)^2

Claro que, agora a reta diretriz será x = d, com d = x_0 - \frac{p}{2} e F(x_0 + \frac{p}{2},y_0). Do problema dado, podemos reescrever a expressão da parábola e obter:

y^2 = -4x + 4 \Rightarrow (y - 0)^2 = -4(x-1) \Rightarrow (x - 1) = \frac{1}{2 \cdot (-2)} (y - 0)^2

Portanto, p = -2, e claro, d = 1 - \frac{-2}{2} = 2, também F(0,0) e V(1,0). Finalmente sabemos que, de fato VF = 1\,\textrm{u.c.}, medida horizontalmente. Veja a figura a seguir:

A distância BF é sempre igual à distancia BC.

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Grande abraço.

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