Paulo de Sousa – Projeto Mentoria

Estamos de volta com o problema da semana. Vamos relembrar o enunciado antes de resolver. Segue:

Sendo $x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ , calcular o valor de $x^{2021} + \frac{1}{x^{2021}}$ .

Vamos à solução proposta pelo grande mentor e mestre Paulo de Sousa Sobrinho. Sabemos que:

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$

Daí, elevando ambos os membros ao quadrado, teremos:

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 0$

O que nos leva a:

$x^2 = -\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow x^4 = -1$

Sabemos que $x^{2021} = x^{2020} \cdot x$ e como $2020 = 4 \cdot 505$ , podemos fazer $(x^4)^{505} \cdot x$ e teremos:

$x^{2021} + \frac{1}{x^{2021}} = (x^4)^{505} \cdot x + \frac{1}{(x^4)^{505} \cdot x} = (-1) \cdot x + \frac{1}{(-1) \cdot x} = - (x + \frac{1}{x}) = - \sqrt{2}$

Esta é a solução proposta por nosso grande mestre ~~Jaiminho..~~ ops, Paulinho! Vou propor uma nova solução em vídeo, um pouco menos elegante e, talvez…, um pouquinho mais longa, porém menos sofisticada.

Menção honrosa: