Problema da Semana #11: Solução Sem Logaritmos!

$Expressão$

Vamos a solução de mais um problema da semana. Eis o enunciado da última semana:

Sendo $147^x = 189$ calcule o valor de $7^{\frac{1-2x}{3(x-3)}}$ .

Primeiro. vejamos que $147 = 21 \cdot 7$ e que $189 = 27 \cdot 7$ ; com isso, teremos:

$(21 \cdot 7)^x = 27 \cdot 7$

como $21 = 3 \cdot 7$ e $27 = 3^3$ podemos escrever:

$3^x \cdot 7^x \cdot 7^x = 3^3 \cdot 7^1$

Arranjando os termos:

$\frac{3^x}{3^3} = \frac{7^1}{7^{2x}}$

Portanto:

$3^{x-3}= 7^{1 - 2x}$

Agora, elevando ambos os membros a $\frac{1}{x-3}$ , ficamos com:

$(3^{x-3})^{\frac{1}{x-3}}= (7^{1 - 2x})^{\frac{1}{x-3}}$

Estamos quase lá, pois agora temos $3 = 7^{\frac{1 - 2x}{x-3}}$ . Elevando ambos os lados a $\frac{1}{3}$ :

$3^{\frac{1}{3}} = (7^{\frac{1 - 2x}{x-3}})^{\frac{1}{3}}$

Ou seja, $3^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{1 - 2x}{3(x-3)}}$ , assim a resposta é $3^{\frac{1}{3}}$ ou $\sqrt[3]{3}$ .

Resolveram este problema:

Micael França.

Listagem de problemas resolvidos até agora:

(4) Micael França
(3) Ygor Gabriel
(2) Yasmim Silva
(2) Ygor Farias
(2) Arthur Rocha
(2) @mariopersico_
(2) Iuri Henrique
(1) Alef
(1) Lucca Gabriel
(1) Gustavo
(1) Lucas Lopes
(1) Davi do Nascimento Teles Barata
(1) Enzo Botarelli

Problema da Semana #10: Uma Solução Mais ou Menos Simples

Segue a solução do problema da semana #10. Vamos relembrar o enunciado.

Na figura abaixo, o terreno retangular $ABCD$ foi loteado e os números que aparecem no interior de alguns destes lotes, indicam suas respectivas áreas em $\text{km}^2$ .

A medida da área indicada pelo lote da letra $x$ , em $\text{km}^2$ é igual a:

a) $70$

b) $40$

c) $60$

d) $50$

e) $54$

Uma solução “simples” é chamar a áreas desconhecidas em branco de $a$ , $b$ , $c$ e $d$ . Como na figura abaixo:

Perceba que a área do triângulo $BCF$ é igual à área do triângulo $CDE$ , pois ambos são iguais a metade da área do retângulo (esse pode ser um fato difícil de perceber, pense um pouco até que isso fique claro para você). Assim, podemos escrever:

$a+x + c = b + x + d \Leftrightarrow a+c = b+d$

Pelo mesmo motivo teremos:

$9 + b + 35 + 6 + d = a + x + c \Leftrightarrow 50 + \underbrace{b + d}_{= a+c} = x + a + c$

Logo $x = 50$ . Há outra solução usando o Teorema dos Carpetes. Mas essa deixaremos para o grande mentor José Maria Gomes (o famoso China).

Resolveram este Problema:

Micael França

Listagem de problemas resolvidos até agora:

(3) Ygor Gabriel
(3) Micael França
(2) Yasmim Silva
(2) Ygor Farias
(2) Arthur Rocha
(2) @mariopersico_
(2) Iuri Henrique
(1) Alef
(1) Lucca Gabriel
(1) Gustavo
(1) Lucas Lopes
(1) Davi do Nascimento Teles Barata
(1) Enzo Botarelli

Se seu nome não apareceu, me avise pois pode ser que eu não tenha visto a sua solução enviada.

Bora pra cima!

Problema da Semana #10: Calcule a Área Desconhecida!

Nesta semana trazemos um problema proposto pelo grande mestre José Maria Gomes (vulgo China), autor do livro Tópicos de Matemática IME-ITA-Olimpíadas cujas capas encontram-se abaixo:

O problema trazido por ele tem o enunciado que segue abaixo:

Na figura abaixo, o terreno retangular $ABCD$ foi loteado e os números que aparecem no interior de alguns destes lotes, indicam suas respectivas áreas em $\text{km}^2$ .

A medida da área indicada pelo lote da letra $x$ , em $\text{km}^2$ é igual a:

a) $70$

b) $40$

c) $60$

d) $50$

e) $54$

E aí? Acha que consegue resolver essa? Responda nos comentários e/ou mande para mim sua solução marcando com #semana10 para que eu possa identificar sua resposta rapidamente.

Mãos à obra e bora resolver mais este problema.

Até mais.

[LSB]

Problema da Semana #9: Solução e a Proposta de um Novo Problema

Estamos de volta para falar do problema da semana #9 e trazer sua solução, bem como os nomes dos que solucionaram e também para fazer algumas considerações gerais.

Relembrando o problema, o enunciado era o seguinte:

(AMAN — 1984) Calcular a soma das raízes da equação:

$2^{x^2} = 32(2^{3x-7})$

a) $3$

b) $2$

c) $-3$

d) $-2$

e) N.R.A.

Como podemos ver, esse é um problema da Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN), e envolve uma espécie de equação exponencial. Como a base é $2$ , basta que os expoentes sejam iguais para que a igualdade seja verificada. Então, teremos:

$2^{x^2} = 2^5 \cdot 2^{3x - 7} \Leftrightarrow 2^{x^2} = 2^{5 + 3x - 7}$

Portanto:

$2^{x^2} = 2^{3x - 2} \Leftrightarrow x^2 = 3x - 2 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$

Como queremos apenas a soma das raízes e não as raízes em si, basta calcular a soma que vale $S = -\frac{-3}{1} = 3$ . Caso você quisesse achar as raízes bastaria verificar que: