Pontos Notáveis de um Triângulo: Incentro

Olá, nesta postagem queremos trazer um exemplo de problema que exige o conhecimento, mesmo que básico sobre os principais pontos notáveis do triângulo. Em particular, estamos falando sobre o incentro. Em vez de apenas resolver o problema, queremos falar um pouco sobre este ponto notável, aproveitando como uma revisão básica.

Por definição, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo. As bissetrizes internas de um triângulo são segmentos que tem um extremo sendo o vértice do triângulo e o outro vértice sobre o lado do triângulo, ou seja é uma ceviana.

Na figura anterior, no triângulo ABC, \overline{AD}, \overline{BF} e \overline{CE} são cevianas. Se tivermos \alpha = \beta, \varepsilon = \zeta e \delta = \gamma então as três cevianas serão bissetrizes internas.

Uma observação importante aqui: não estamos provando que as três bissetrizes internas concorrem (se interceptam) no mesmo ponto (isto ficará pra outro momento…), mas por ora, vamos admitir que seja verdade, já que, da fato, é.

Assim, feita esta breve observação e “dados nomes aos bois” chamaremos o ponto o G de incentro do triângulo ABC. E, claro, pela própria construção da figura, é intuitivo que o incentro é sempre interno ao triângulo, seja ele acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Por uma questão de simplificação, vamos convencionar que ângulos de mesma cor têm a mesma medida. Sabendo que tangentes comuns traçadas de um mesmo ponto a uma circunferência são iguais, o incentro de um triângulo é o centro do círculo inscrito no mesmo triângulo.

Assim, na figura anterior, os ângulos em laranja são todos retos (valem 90^\circ) e GM = GN = GP = r, em que r é o raio do círculo inscrito, também chamado de incírculo. Fiz essa figura pra que seja percebido que os “pés” das bissetrizes não são, necessariamente, pontos do círculo inscrito.

Esta figura traz várias consequências implícitas. Por exemplo, os triângulos de mesma cor na figura a seguir, são congruentes. Mostrando, por exemplo que AM = AN, CM = CP e BN = BP.

Assim, veja que o incentro está a uma mesma distância de cada um dos lados do triângulo.

Com base nesta figura, só para citar uma propriedade importante, podemos mostrar que AM = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC. Como não é nosso foco, fica pra depois. Bom qual nosso foco, no momento então? A relação entre o angulo interno do vértice A e o ângulo B\widehat{G}C na figura a seguir:

Veja que G é o incentro, pois \overline{BF} e \overline{CE} são bissetrizes internas. Assim, teremos as seguintes relações:

\widehat{A} + 2x + 2y = 180^\circ para o triângulo ABC

e também

\widehat{G} + x + y = 180^\circ \Rightarrow x + y = 180^\circ - \widehat{G}

Fica, então, simples de se perceber que:

\widehat{A} + 2(x + y) = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} + 2(180^\circ - \widehat{G}) = 180^\circ

Ou seja:

\widehat{A} = 2\widehat{G} - 180^\circ ou \widehat{G} = \frac{\widehat{A}}{2} + 90^\circ

Vamos então ao problema proposto na EEAr há algum tempo, que trago aqui com uma ligeira adaptação:

(EEAr — Modificada)

Um triângulo ABC tem M com incentro. Se B\widehat{M}C = 3 \cdot B\widehat{A}C, qual o valor de BAC?

a) 15^\circ

b) 18^\circ

c) 24^\circ

d) 36^\circ

Veja que o problema trata exatamente do que acabamos de ver. Como M é incentro, basta fazermos:

B\widehat{A}C = 2B\widehat{M}C - 180^\circ

Assim:

B\widehat{A}C = 2 \cdot (3 \cdot B\widehat{A}C) - 180^\circ \Rightarrow 5 \cdot B\widehat{A}C = 180^\circ \Rightarrow B\widehat{A}C = 36^\circ

Portanto, letra D.

Ah, e aqui está um vídeo sobre todos os pontos notáveis do triângulo.

Espero ter esclarecido um pouco mais sobre o incentro e suas propriedades.

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[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 10, 11 e 12

Olá leitores,

passou o carnaval e voltamos com força total. Estas foram as listas das últimas três semanas. Demoramos um pouco mais por conta de uma rotina bem apertada de trabalho fora do site. Mas estamos na linha novamente. E com muitas novidades.

Foi isso galera.

Bom fim de semana e bons estudos.

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #5

Olá,

estamos fechando mais uma semana (semana #6) na turma pré-AFA de 2019. Mas não é por isso que vamos deixar de publicar por aqui as listas da semana #5.

Esta foi uma semana produtiva para nós e esperamos que seja para vocês também.

Bons estudos e bom fim de semana.

[LSB]

Área de um Triângulo no Plano Cartesiano

Olá alunos, mais um vídeo. Nesta aula de geometria analítica falamos sobre a área de um triângulo qualquer no plano cartesiano e damos um exemplo de como utilizar o algoritmo que calcula esta área.

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Bons estudos e sucesso.

Coordenadas do Baricentro de um Triângulo no Plano

Olá alunos e assinantes, estamos de volta para uma de nossas aulas e, neste vídeo, abordamos a fórmula que determina as coordenadas do baricentro de um triângulo no plano cartesiano. Não fazemos uma demonstração, mas mostramos como é damos um exemplo de utilização.

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Exercícios: Expressões Algébricas, Triângulos, Equações Irracionais e Equações Biquadradas

Olá leitores,

estamos publicando freneticamente no nosso canal do YouTube (wwww.youtube.com/c/cursomentor) e por isso temos publicado um pouco menos por aqui, mas isto não quer dizer que não tenhamos colocado novas listas de exercícios. Confira estas quatro novas listas que estão em nossa página de exercícios já há alguns dias.

Um abraço e bons estudos.

@LSBar – CEO & Founder

Tira-Teima #9: Triângulos

Questão enviada por Ederson Ferreira

(CONED-CASTANHAL 2009-PA) De um ponto qualquer marcado no interior de um triângulo equilátero traçam-se segmentos perpendiculares a todos os lados. Podemos afirmar que a soma dos comprimentos dos segmentos traçados é igual a:

a) Medida do lado do triângulo

b) Medida da altura do triângulo

c) Medida da metade do lado do triângulo

d) Medida da metade da altura do triângulo

e) Medida da área do triângulo

Veja a solução aqui.