Live: Termometria

Mais uma live completada! Desta vez falamos sobre termometria.

Você pode pegar a lista de exercícios resolvida na live AQUI.

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Você pode visualizar as questões resolvidas na live na imagem abaixo:

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Live: Introdução à Geometria Plana

A lista de exercícios usada na live está disponível AQUI.

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Live: Cinemática Escalar

Para quem quiser a lista de exercícios resolvidas nesta live clica AQUI.

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As questões resolvidas podem ser visualizadas na imagem abaixo:

Até a próxima live.

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Live: Introdução aos Conjuntos

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O “quadro” com as imagens das questões e suas resoluções está aqui:

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Um Sistema Simples

Olá leitores.

Trago hoje um problema envolvendo um sistema simples do segundo grau. Neste vídeo, proponho uma solução um pouco menos trivial.

Espero que gostem.

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O “Clássico” Problema dos 3 Quadrados

Já tinha visto este problema? Só pra você saber ele já caiu na EsPCEx… fica ligado!

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Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos $A\widehat{B}C$ , $A\widehat{C}D$ , $C\widehat{E}D$ são retos. Se $AB = 2\sqrt{3}$ m e $CE = \sqrt{3}$ m, a razão entre as áreas dos triângulos $ABC$ e $CDE$ é

a) $6$
b) $4$
c) $3$
d) $2$
e) $\sqrt{3}$

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo $B\widehat{A}C = \alpha$ . Assim teremos $B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha$ . Como $A\widehat{C}D = 90^\circ$ , teremos $E\widehat{C}D = \alpha$ e, portanto os triângulos $ABC$ e $CED$ são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

$\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

$\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4$

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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ITA: uma Questão de Combinatória!

Olá leitor!

Segue uma questão sobre análise combinatória trazida até mim.

(ITA) Uma escola possui $18$ professores, sendo $7$ de Matemática, $3$ de Física e $4$ de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de $12$ professores de modo que cada uma contenha exatamente $5$ professores de Matemática, no mínimo $2$ de Física e no máximo $4$ de Química?
a) $875$
b) $1877$
c) $1995$
d) $2877$
e) N.D.A.
Enviada por Caio Franco

Esse é o tipo de problema que a boa e velha tática de separar em casos ajuda bastante. Vamos montar uma tabela com as possibilidades de números de professores, sendo $M$ para Matemática; $F$ para Física; $Q$ para Química e $O$ para as outras disciplinas.

$\begin{array}{c | c | c | c} M & F & Q & O \\ \hline 5 & 3 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array}$

Assim, o total de escolhas será:

${7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 0} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 3}$

Podemos colocar ${7 \choose 5}$ em evidência:

${7 \choose 5} \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 4 + 1 \cdot 6 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \cdot 4) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot (1 +16 + 36 + 12 + 72) = 21 \cdot 137 = 2877$

Opção D.

Uma questão não tão difícil, mas no padrão que se espera do ITA.

Até a próxima!

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Um Sistema Simples

Olá leitores, recebi uma dúvida há pouco, que envolve sistemas lineares. Vamos dar uma olhada.

Calcule a soma $x + y + z$ no sistema abaixo:
$\left\{\begin{array}{lll} 66x + 33y + 2z = 1 \\ 2x + 66y + 33z = 2 \\ 33x + 2y + 66 z = 98 \\ \end{array}\right.$
Paolla Souza

Bom, em primeiro lugar é necessário saber que, se um sistema é composto de equações lineares, então a equação obtida pela soma das equações do sistema pode substituir qualquer equação do sistema, mantendo o conjunto solução intacto — que é uma aplicação direta do Teorema de Jacobi em uma matriz.

Daí, como só queremos $x + y + z$ e não os valores individuais, só precisamos somar as três equações e teremos:

$66x + 2x + 33x + 33y + 66y + 2y + 2z + 33z + 66z = 1 + 2 + 98$

Portanto:

$101 x + 101 y + 101 z = 101 \Rightarrow x + y + z = 1$

Viu, basta uma boa ideia para resolver rápido. Mas claro, embora não tenhamos feito isso, você pode resolver o sistema, encontrando os valores das incógnitas e depois calcular a soma resultante de seus valores. Vá em frente!

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Uma Dúvida Interessante Sobre Conjunto-Solução

Olá pessoal, há algum tempo, recebi este comentário aqui no site. Como um dos vídeos mais vistos em nosso canal no Youtube (veja ele aqui ou no final desta postagem!) trata deste assunto, resolvi resolver e comentar um pouco sobre isto.

A dúvida é da Helena e diz o seguinte:

Se a equação $X^4 - KX^2 = 0$ tem solução $S = \{-9;0;9\}$ , então:
a) $K=9$
b) $K=81$
c) $K=18$
d) $K=0$
e) $K= -9$
Helena

Inicialmente quero agradecer pela interação com o site, que por muito tempo ficou parado e que agora minha meta é manter funcionando. Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, vamos considerar algumas coisas.

(1) Vamos adotar que a equação tem $X$ como incógnita, ou seja, este é o valor que queremos calcular. Isto faz sentido, porque se $K$ fosse a variável, bastaria isolar $K$ , fazendo:

$-KX^2 = -X^4 \Rightarrow K = {X^2} \qquad \textrm{para } X \ne 0$

Mas, como esta é uma equação literal do primeiro grau na incógnita $K$ , seu conjunto-solução só poderia admitir um único valor. O que contrariaria o enunciado.

(2) O que o enunciado chama de “solução” na realidade é o conjunto-solução $S$ ; que é o conjunto cujos elementos solucionam a equação proposta, isto é, são soluções dela. Como $S$ tem mais de um elemento e a equação está na forma de um polinômio, já sabemos que ele não pode ser do primeiro grau, já que pelo Teorema Fundamental da Álgebra uma equação polinomial de grau $n$ tem exatamente $n$ soluções complexas (no conjunto dos números complexos) e no máximo $n$ soluções reais (em $\mathbb{R}$ ).

(3) Entendido isso, podemos trabalhar sobre a incógnita como sendo $X$ . Assim, colocando $X^2$ em evidência, teremos:

$X^2 \cdot (X^2 - K) = 0$

Para que um produto de dois números seja nulo, é necessário que pelo menos um deles seja zero. Assim, sabemos que $X^2 = 0$ , logo $X = 0$ , caracterizando duas raízes reais e iguais a zero; ou $X^2 - K = 0$ , daí:

$X^2 = K \Rightarrow X = +\sqrt{K} \quad \textrm{ou} \quad X = -\sqrt{K}$

Ou seja, temos um conjunto solução, que chamaremos de $S'$ representado por $S'= \{-\sqrt{K}; 0; +\sqrt{K}\}$ , que pressupõe necessariamente que $K \geq 0$ .

Como $S = S'$ devemos ter exatamente os mesmos elementos em ambos, ou seja $\sqrt{K} = 9$ . Portanto, para $K \geq 0$ , sabemos que $K = 81$ . Teremos, então a opção B.

Assim, pra fecharmos o assunto, é necessário fazer algumas considerações importantes:

Verificar sempre quem é a incógnita da equação;
Verificar quem é o conjunto universo no qual se está trabalhando. No osso caso consideramos o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ , mas poderíamos ter os naturais $\mathbb{N}$ , inteiros $\mathbb{Z}$ , complexos $\mathbb{C}$ , etc;
É importante entender o papel do conjunto-solução em uma equação; e
Cuidado com equações literais.