AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de $(1+x)^n$ estão em progressão aritmética. Se $n \leq 13$ , então o valor de $2n + 1$ é:
a) $7$
b) $13$
c) $15$
d) $27$
Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio $(x+a)^n$ é:

$T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p$

No nosso caso $x = 1$ e $a = x$ . Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

$T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4$

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

$T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5$

$T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6$

Então, ${n \choose 4}$ , ${n \choose 5}$ e ${n \choose 6}$ formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

$2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}$

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$

Então:

$2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}$

Dividindo todas as parcelas por $\frac{n!}{4!(n-6)!}$ teremos a seguinte expressão:

$\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}$

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

$\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}$

Desenvolvendo:

$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$

Finalmente chegamos à $n^2 - 21n + 98 = 0$ , cujas raízes são $n = 14$ e $n = 7$ . Do enunciado sabemos que $n \leq 13$ , portanto, $n = 7$ . Como queremos $2n + 1$ , sabemos que o resultado final é $15$ . Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha $7$ , chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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32 Exercícios de Matemática da AFA

Olá leitores!

Separamos alguns exercícios da AFA de vários assuntos: matrizes, determinantes, P.A. e P.G., binômio geometria (diversos tópicos) e por aí vai…!

Segue a lista:

Lista_Gerais_4 Baixar

Bons estudos e até a próxima lista!

PS.: Só pra lembrar, esta lista e muitas outras, ficam também disponíveis aqui neste link!

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de $20$ exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Lista_Gerais_3 Baixar

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de $1$ a $9$ no quadrado $3 \times 3$ a seguir, substituindo as letras de $a$ a $i$ , de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é $S$ e a soma das três linhas é a mesma, valendo $k$ , teremos:

$a + b + c = d + e + f = g + h + i = k$

Portanto:

$(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}$

O que mostra que, se os números são naturais, $S$ deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de $3$ , já que são $3$ linhas. Como temos os números de $1$ a $9$ , sabemos que:

$1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45$

Que nada mais é que a soma dos $9$ termos de uma P.A. de razão $1$ . Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, $15$ .

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de $1$ a $9$ como segue:

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Vemos claramente que:

$1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5$

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale $5$ , fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a $10$ . Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra $e$ , pois veja que, se temos:

$a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h$

Teremos:

$a + i = d + f = g + c = b + h$

E, além disso, $a + b + c = g + h + i$ , limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares $(a,i)$ , $(d,f)$ , $(g,c)$ e $(b,h)$ sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra $e$ , ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser $5$ . Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

$(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Confira no “quadrado mágico”:

$\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}$

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de $a$ a $i$ e que a soma das linhas vale $k = \frac{45}{3}$ , portanto, podemos montar o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\ d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.$

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação $a + b + \ldots + h + i = 45$ é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular $e$ , vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar $c$ , encontrando $c = 15 - (a+b)$ e substituir este resultado nas demais:

$\left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar $d$ na primeira, obtendo $d = 15 - (e + f)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + 15 - (e + f) + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Agora, faremos o mesmo para $i$ , escrevendo $i = 15 - (g+h)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + 15 - (g+h) = a + b \\ a + e + 15 - (g+h) = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ a + b + g + h - f = 15 \\ a + e = g+h \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Vamos agora, isolar $a$ na primeira, obtendo $a = e + f - g$ , (haja paciência…!):

$\left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + f - g + b + g + h - f = 15 \\ e + f - g + e = g+h \\ g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

Substituindo a terceira na segunda:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = b + h \\ \end{array} \right.$

Comparando as duas teremos $3e = 15$ , portanto, $e = 5$ . Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de $b+h =10$ , mas não os valores de $b$ e $h$ individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

E aí? Curtiu nossa solução? Divulgue!

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Tira-Teima #14

Dúvida enviada por Priscila.

(CETF-RJ/2007/Q11) Ao dividirmos o termo de ordem $14$ de uma P.A. pelo termo de ordem $5$ , obteremos $7$ por resposta. Ao se dividir o décimo termo dessa seqüência pelo terceiro termo, obteremos o quociente $5$ e o resto $3$ . A soma dos termos da P.G. cuja razão e o primeiro termo são os mesmos da P.A. é:

Solução: Do enunciado sabemos que $\frac{a_{14}}{a_5} = 7$ e que $a_{10} = 5a_3 + 3$ .

Mas sabemos que $a_{14} = a_1 + 13r$ e que $a_5 = a_1 + 4r$ , então:

$\frac{a_1 + 13r}{a_1 + 4r} = 7 \Rightarrow a_1 + 13r = 7a_1 + 28 r$

Com isso chegamos a $a_1 = -\frac{5r}{2}$ .

Além disso, $a_{10} = a_1 + 9r$ e $a_3 = a1 + 2r$ . Voltando ao enunciado podemos escrever:

$a_1 + 9r = 5a_1 +10r + 3 \Rightarrow -4a_1 = r+ 3$

Substituindo o $a_1$ encontrado:

$-4 \cdot (-5) \cdot \frac{r}{2} = r+3$

Então $r = \frac{1}{3}$ . E, deste modo, $a_1 = - \frac{5}{6}$ . Como a soma $S$ dos termos de uma P.G. com razão $q$ tal que $\vert q \vert < 1$ é $S = \frac{a_1}{1-q}$ , podemos fazer:

$S = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{3}} \Rightarrow S = - \frac{5}{4}$

Espero ter ajudado.

@LSBar

Tira-Teima #2: Operações Fundamentais

Enviado por David Fernandes

José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, será:
a) terça-feira

b) quarta-feira

c) sexta-feira

d) quinta-feira

Solução aqui.