AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n estão em progressão aritmética. Se n \leq 13, então o valor de 2n + 1 é:

a) 7

b) 13

c) 15

d) 27

Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio (x+a)^n é:

T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p

No nosso caso x = 1 e a = x. Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5

E

T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6

Então, {n \choose 4}, {n \choose 5} e {n \choose 6} formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}

Então:

2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}

Dividindo todas as parcelas por \frac{n!}{4!(n-6)!} teremos a seguinte expressão:

\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}

Desenvolvendo:

12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20

Finalmente chegamos à n^2 - 21n + 98 = 0, cujas raízes são n = 14 e n = 7. Do enunciado sabemos que n \leq 13, portanto, n = 7. Como queremos 2n + 1, sabemos que o resultado final é 15. Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha 7, chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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32 Exercícios de Matemática da AFA

Olá leitores!

Separamos alguns exercícios da AFA de vários assuntos: matrizes, determinantes, P.A. e P.G., binômio geometria (diversos tópicos) e por aí vai…!

Segue a lista:

Bons estudos e até a próxima lista!

PS.: Só pra lembrar, esta lista e muitas outras, ficam também disponíveis aqui neste link!

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de 20 exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de 1 a 9 no quadrado 3 \times 3 a seguir, substituindo as letras de a a i, de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é S e a soma das três linhas é a mesma, valendo k, teremos:

a + b + c = d + e + f = g + h + i = k

Portanto:

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}

O que mostra que, se os números são naturais, S deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de 3, já que são 3 linhas. Como temos os números de 1 a 9, sabemos que:

1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45

Que nada mais é que a soma dos 9 termos de uma P.A. de razão 1. Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, 15.

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de 1 a 9 como segue:

(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Vemos claramente que:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale 5, fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a 10. Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra e, pois veja que, se temos:

a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h

Teremos:

a +  i = d + f = g + c = b + h

E, além disso, a + b + c = g + h + i, limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares (a,i), (d,f), (g,c) e (b,h) sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra e, ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser 5. Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Confira no “quadrado mágico”:

\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de a a i e que a soma das linhas vale k = \frac{45}{3}, portanto, podemos montar o seguinte sistema:

\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação a + b + \ldots + h + i = 45 é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular e, vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar c, encontrando c = 15 - (a+b) e substituir este resultado nas demais:

\left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar d na primeira, obtendo d = 15 - (e + f):

\left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + 15 - (e + f) + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Agora, faremos o mesmo para i, escrevendo i = 15 - (g+h):

\left\{ \begin{array}{r}    a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + 15 - (g+h) = a + b \\  a + e + 15 - (g+h) = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  a + b + g + h - f = 15 \\  a + e  = g+h \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Vamos agora, isolar a na primeira, obtendo a = e + f - g, (haja paciência…!):

\left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e + f - g + b + g + h - f = 15 \\  e + f - g + e  = g+h \\  g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

Substituindo a terceira na segunda:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  =  b + h \\ \end{array} \right.

Comparando as duas teremos 3e = 15, portanto, e = 5. Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de b+h =10, mas não os valores de b e h individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

E aí? Curtiu nossa solução? Divulgue!

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Tira-Teima #14

Dúvida enviada por Priscila.

(CETF-RJ/2007/Q11) Ao dividirmos o termo de ordem 14 de uma P.A. pelo termo de ordem 5, obteremos 7 por resposta. Ao se dividir o décimo termo dessa seqüência pelo terceiro termo, obteremos o quociente 5 e o resto 3. A soma dos termos da P.G. cuja razão e o primeiro termo são os mesmos da P.A. é:

Solução: Do enunciado sabemos que \frac{a_{14}}{a_5} = 7 e que a_{10} = 5a_3 + 3.

Mas sabemos que a_{14} = a_1 + 13r e que a_5 = a_1 + 4r, então:

\frac{a_1 + 13r}{a_1 + 4r} = 7 \Rightarrow a_1 + 13r = 7a_1 + 28 r

Com isso chegamos a a_1 = -\frac{5r}{2}.

Além disso, a_{10} = a_1 + 9r e a_3 = a1 + 2r. Voltando ao enunciado podemos escrever:

a_1 + 9r = 5a_1 +10r + 3 \Rightarrow -4a_1 = r+ 3

Substituindo o a_1 encontrado:

-4 \cdot (-5) \cdot \frac{r}{2} = r+3

Então r = \frac{1}{3}. E, deste modo,  a_1 = - \frac{5}{6}. Como a soma S dos termos de uma P.G. com razão q tal que \vert q \vert < 1 é S = \frac{a_1}{1-q}, podemos fazer:

S = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{3}} \Rightarrow S = - \frac{5}{4}

Espero ter ajudado.

@LSBar

 

 

Tira-Teima #2: Operações Fundamentais

Enviado por David Fernandes

José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, será:
a) terça-feira

b) quarta-feira

c) sexta-feira

d) quinta-feira

Solução aqui.