Exercícios Gerais: EEAr

Olá leitores!

Mais uma lista de exercícios gerais, desta vez uma lista que serve para a EEAr.

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EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

Bons estudos e boa semana!

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EEAr: 80 Questões de Física!

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma coletânea de questões de física da EEAr. São 80 questões (espero não ter repetido nenhuma) envolvendo os assuntos Termometria, Dilatação Térmica, Trocas de Calor, Mudanças de Fase e Propagação do Calor.

Segue a lista, abaixo.

Em breve, tem mais.

Bons estudos e até breve!

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EEAr: TODAS as Questões de Exponenciais!

Olá leitor!

Já tínhamos postado aqui, mas por algum motivo deu ruim no WP e por isso, estou repostando.

Segue a lista atualizada (achei mais duas questões) da EEAr.

Bons estudos!

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EFOMM: 33 Questões de Provas Antigas!

Olá leitor!

Vai fazer prova pra EFOMM este ano? Deixamos 33 questões coletadas de provas antigas da EFOMM pra você!

Bons estudos!

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CN, EPCAr: um Pequeno Simulado!

Olá leitor,

deixo hoje pra você um pequeno simulado com 20 questões de matemática que servem de preparação pra você que está estudando para o Colégio Naval/ou para a EPCAr.

Boa sorte e bons estudos!!!

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AFA: 100 Exercícios de Matemática para Revisão na Reta Final!

Olá leitores.

Adicionamos mais uma lista com exercícios gerais de revisão na reta final para a prova da AFA deste ano.

Colocamos vários exercícios da AFA mais antigos pra variar um pouco das provas mais recentes e acrescentamos algumas também mais antigas da Escola Naval (que claro já passou) mas que servem como treinamento para a prova da AFA. Segue a lista:

Espero que seja de grande ajuda nestes últimos momentos.

Boa prova e sucesso!

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Escola Naval: Matemática 2021/2022 (Prova Amarela)

Olá leitor.

Recebi agora a prova da Escola Naval de 2021/2022 e vou começar a colocar aqui os meus gabaritos. Vou atualizando aos poucos. Você pode sempre voltar nesse link, caso queira.

IMPORTANTE: As questões não estão na ordem em que aparecem na prova, pois estou dando preferência as que vou resolvendo primeiro. Vamos lá!

Seja a sequência abaixo definida por uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação linear dos três termos imediatamente anteriores. (2,-1,1,6,3,-1,\ldots)

A soma do sétimo com o oitavo termo é igual a

a) 4

b) 5

c) 15

d) 23

e) 24

Como dito no enunciado, cada termo a_n segue a seguinte lei de formação:

a_n = A \cdot a_{n-1} + B \cdot a_{n-2} + C \cdot a_{n-3} \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 4

Para n = 4:

A \cdot a_3 + B \cdot a_2 + C \cdot a_1 = a_4

Para n = 5:

A \cdot a_4 + B \cdot a_3 + C \cdot a_2 = a_5

Para n = 6:

A \cdot a_5 + B \cdot a_4 + C \cdot a_3 = a_6

Tirando os termos dados da sequência, teremos o sistema:

\left\{ \begin{array}{lll} A - B + C = 6 \\ 6A + B - C = 3 \\ 3A + 6B + C = -1 \\ \end{array} \right.

Somando as duas últimas equações, teremos 9A + 7B = 2 e, duplicando a segunda equação e, somando com a primeira, chegamos à 13A + B = 12. Temos então o sistema a seguir:

\left\{ \begin{array}{lll} 9A + 7B = 2 \\ 13A + B = 12 \\ \end{array} \right.

Isolando B na segunda, ficamos com B = 12 - 13A e, então:

9A + 7(12 - 13A) = 2 \Rightarrow 9A - 91 A = 2 - 84A \Rightarrow A = 1

Consequentemente B = -1 e C = 2.

Assim o termo geral fica:

a_n = a_{n-1} - a_{n-2} + 2a_{n-3}

O sétimo termo é a_7 = a_6 - a_5 + 2a_4 = (-1) + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 8 e o oitavo termo é a_8 = a_7 - a_6 + 2a_5 = 8 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 15. Deste modo a_7 + a_8 = 8 +15 = 23. Opção D.

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No \mathbb{R}^3, a equação ax+by + cz + d = 0, com as constantes a,b,c,d \in \mathbb{R}, podem representar um plano. Assinale a opção que esboça a representação geométrica dos planos no sistema linear abaixo

\left\{ \begin{array}{l} 2x-y + 3z - 5 = 0 \\ -5x + 3y -4z + 6 = 0 \\ -x + y +2z  - 4 = 0 \\ \end{array}\right.

a) Dois planos paralelos e distintos e um secante a eles

b) Planos concorrentes em um ponto (P)

c) Planos secantes dois a dois

d) Planos concorrentes em uma reta (r)

e) Dois planos coincidentes e um secante a eles

Primeiro precisamos reescrever o sistema com segue:

\left\{ \begin{array}{l} 2x - y  + 3z = 5 \\ -5x + 3y - 4z = -6 \\ -x + y + 2z = 4 \\ \end{array} \right.

Agora vamos escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la:

\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ -5 & 3 &- 4 & -6 \\ -1 & 1  & 2 & 4 \\ \end{array} \right\vert

Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos com a segunda, e multiplicamos a primeira linha por 1 e somamos com a terceira linha:

\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 5 & 9 \\ 1 & 0  & 5 & 9 \\ \end{array} \right\vert

Veja que as duas últimas linhas são iguais representando planos coincidentes. O outro plano concorre com estes dois, haja vista que seus vetores normais não são paralelos. Veja:

\left\{ \begin{array}{l} 2x - y  + 3z = 5 \\ x + 5z = 9 \\ x + 5z = 9 \\ \end{array} \right.

O primeiro plano tem vetor \vec{n}_1 = (2,-1,3) e o segundo (e terceiro) tem \vec{n}_2 = (1,0,5).

Chegamos à opção E.

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Todos os pontos P(a,b) da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial P = \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right).

Ao aplicarmos uma transformação linear A \cdot P = Q, geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma Q = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right). Sendo A = \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & - 1 \\ \end{array} \right) assinale a opção que apresenta a figura formada pela transformação A \cdot P.

Vamos, em primeiro lugar, substituir os pontos dados na transformação linear:

\left( \begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right)

Ficamos com \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2a + b \\ 3a + b \end{array} \right).

Olhando para a figura dada, vamos fazer uma tabela com os pontos da figura original. Estes pontos, por meio de suas coordenadas nos darão os novos pontos de coordenadas (c,d). Veja:

\begin{array}{c || c|c|c|c} \textrm{Pontos} &a&b&c=-2a+b&d = 3a+b \\ \hline A(1,0) & 1 & 0 & -2 & 3 \\ \hline B(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2 \\ \hline C(2,\frac{1}{2}) & 2 & \frac{1}{2} & -\frac{7}{2} & \frac{13}{2} \\ \hline D(1,1) & 1 & 1 & 1 & 4 \\ \hline E(2,2) & 2 & 2 & -2 & 8 \\ \hline F(3,\frac{1}{2}) & 3 & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2} & \frac{19}{2} \\ \hline G(\frac{5}{2},0) & \frac{5}{2} & 0 & -5 & \frac{15}{2} \\\end{array}

Para ficar bacana, vou marcar os pontos (c,d) no Geogebra:

Assim chegamos à opção C.

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Considere um círculo de centro O circunscrito a um triângulo ABC com ângulo obtuso em A. O raio AO forma um ângulo de 30^\circ com a altura AH e intercepta BC em um ponto E. O prolongamento da bissetriz do ângulo A intercepta BC em um ponto F e a circunferência em um ponto G, conforme figura abaixo.

Assinale a opção que apresenta a área do quadrilátero FEOG sabendo que AG = 4\sqrt{2} e AH = \sqrt{2\sqrt{3}} cm.

a) 6(3+\sqrt{2})\,\textrm{cm}^2

b) 3(6-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

c) 2(3+\sqrt{6})\,\textrm{cm}^2

d) 3(6+\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

e) 6(2-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

No triângulo AEH podemos calcular a \tan 30^\circ:

\tan = \frac{HE}{AH} \Rightarrow HE = \sqrt[4]{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

No mesmo triângulo podemos calcular \textrm{sen}\,30^\circ:

\textrm{sen}\,30^\circ = \frac{HE}{AE} \Rightarrow AE = 2 \cdot HE \Rightarrow AE = 2 \cdot \frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3}

Podemos agora usar o teorema da bissetriz interna no triângulo AEH:

\frac{AH}{HF} = \frac{AE}{FE}

Substituindo os valores:

\frac{\sqrt[4]{12}}{ \frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3} - FE} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3FE}

Daí:

3FE = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3} - FE)

Desenvolvendo:

3FE + 2\sqrt{3}FE = 2\sqrt[4]{12}

Finalmente temos FE = \frac{2}{3} \sqrt[4]{12}(2\sqrt{3}-3).

No triângulo AOG temos AO = OG = R, em que R é o raio do círculo. Aplicando a lei dos cossenos:

AG^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos A\widehat{O}G

Sabemos que A\widehat{O}G = 150^\circ, pois o triângulo AOG é isósceles de base AG e G\widehat{A}O = A\widehat{G}O = 15^\circ. Assim:

(4\sqrt{2})^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})

Chegamos assim a R^2 = 32(2-\sqrt{3}). Agora partimos para o calculo da área:

(FEOG) = (AOG) - (AFE)

Teremos (AOG) = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OG \cdot \textrm{sen}\,(A\widehat{O}G) e (AFE) = \frac{1}{2} \cdot FE \cdot AH. Ficamos com:

(FEOG) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \textrm{sen}\,150^\circ - \frac{1}{2} \cdot  \frac{2}{3}\cdot  \sqrt[4]{12}(2\sqrt{3}-3) \cdot \sqrt[4]{12}

Fazendo as contas teremos (FEOG) = 6(2-\sqrt{3}). Ufa! Ê…, contarada!!!! Opção E.

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Mais uma Lista: Exercícios EsPCEx

Olá leitores!

Fim de terça-feira, passo aqui para deixar uma pequena lista de exercícios de matemática para a EsPCEx. Vai ser assim, pá-pum!

Faz aí, sucesso e boa semana.

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Mais de 500 Exercícios da EEAr!

Olá leitores,

por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.

Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:

Espero, de verdade, que isto te ajude a alcançar seus objetivos!

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