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Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de x a matriz \left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right] é inversível?

Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por 2:

x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: 1 + (-3) + 14 + (-12) = 0, isto nos garante que 1 é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por 1:

1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se x = a é raiz de um polinômio P(x), então P(x) é divisível por x-a, isto é, P(x) é da forma P(x) = (x-a) \cdot P_1(x). Dito isso, vamos fatorar P(x) (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0

Assim:

x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: x^2 - 2x + 12 \ne 0. Calculando o discriminante teremos \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0, logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é x = 1. Logo, para a matriz ser inversível devemos ter x \ne 1.

Espero ter ajudado.

Vou deixar um vídeo sobre o teorema de D’Alembert:

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[LSB]

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