Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja $W$ o conjunto dos números múltiplos de $2$ ou $P$ , em que $P$ é um primo ímpar. Sabendo que $\frac{3}{5}$ de $W$ , que são múltiplos de $P$ , são ímpares; $\frac{2}{5}$ de $W$ são ímpares; e $77$ elementos de $W$ não são múltiplos de $2P$ , pode-se afirmar que a quantidade de elementos de $W$ que são ímpares é um número múltiplo de:
a) $4$
b) $5$
c) $7$
d) $9$
e) $11$
Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de $2$ ou $P$ são infinitos. Assim, deveria vir escrito que $W$ é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que $M_P$ é o conjunto dos múltiplos de $P$ e que $M_2$ é o conjunto dos múltiplos de $2$ .

Vamos considerar que $M_P$ é o conjunto dos múltiplos de $P$ e que $M_2$ é o conjunto dos múltiplos de $2$ .

Desse modo:

$a$ serão os múltiplos de $2$ que não são múltiplos de $P$ ;
$b$ serão os múltiplos de $2$ que também são múltiplos de $P$ , ou seja, como $P$ também é primo, serão os múltiplos de $2P$ ; e
$c$ serão os múltiplos de $P$ que não são múltiplos de $2$ ; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de $P$ .

Chamando o total de elementos de $x$ , do enunciado, tiramos as seguintes informações:

$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.$

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de $P$ , $\frac{3}{5}$ são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

$3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c$

Da segunda linha, escrevemos: $b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot x = \frac{4}{15} x$ e da terceira linha:

$\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x$

Agora, todas as variáveis estão em função de $x$ , voltando à primeira linha do sistema:

$a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x$

Então:

$\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105$

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de $c$ neste caso. Assim $c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42$ que é múltiplo de $7$ . Opção C.

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[LSB]

Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ , qual a probabilidade de que o número escolhido e $2020$ sejam primos entre si?
a) $\frac{40}{101}$
b) $\frac{153}{1010}$
c) $\frac{293}{1010}$
d) $\frac{401}{1010}$
e) $\frac{76}{505}$
Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais $a$ e $b$ são primos entre si, se $\textrm{mdc} (a,b) = 1$ . O m.d.c. entre dois números naturais vale $1$ se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, $9$ e $16$ são primos entre si, pois veja que $9 = 3^2$ e $16 = 2^4$ .

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por $2$ ; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando $2020$ , encontramos $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ . Ou seja, todos os múltiplos de $2$ , $5$ ou $101$ não serão primos com $2020$ , pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que $1$ .

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de $2$ . Eles são em número $M(2) = 1010$ . Para $5$ , temos $M(5) = 404$ . Finalmente, para $101$ , ficamos com $M(101) = 20$ .

Agora, ao somarmos estes valores, teremos $M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434$ . Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de $10$ , por exemplo, são múltiplos de $2$ e de $5$ também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de $2$ e de $5$ são os múltiplos de $10$ , e são $M(10) = 202$ . Para os múltiplos de $2$ e de $101$ , teremos $M(202) = 10$ ; e, finalmente, os múltiplos de $5$ e de $101$ são em número total de $M(505) = 4$ . Estes serão excluídos. O total é $M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216$ .

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de $2$ , $5$ e $101$ , que serão os múltiplos de $1010$ . Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então $M(1010) = 2$ .

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com $2020$ , não sendo primos com $2020$ . Assim, eles são $1434 - 216 + 2 = 1220$ no total. Como são $2020$ números no total, temos $2020 - 1220 = 800$ números que são primos entre si com $2020$ . Agora, temos a probabilidade:

$P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}$

Opção A.

E aí, gostou.

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Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por $21$ . Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de $2020$ é divisível por $21^n$ . O maior valor inteiro de $n$ é:
a) $96$
b) $288$
c) $334$
d) $440$
e) $673$
Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por $21$ é necessário que ele seja divisível por $3$ e por $7$ . Então vejamos o seguinte: $7!$ só é divisível por $21^0$ e $21^1$ , pois:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Assim, fica claro que calculando $\frac{7!}{21}$ teremos um inteiro, pois temos um fator de $7$ e, pelo menos, um fator de $3$ em $7!$ . Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que $7!$ , isto não ocorrerá novamente até o $14!$ , veja:

$14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Fica explícito que $14!$ é divisível por $21^2$ , mas não por $21^3$ , pois há apenas dois fatores de $7$ , sendo um no próprio $7$ e o outro no $14$ , embora haja muito mais fatores de $3$ .

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao $49!$ , pois $49 = 7^2$ , acrescentando, por sua vez, dois fatores de $7$ . Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

cada múltiplo de $7$ acrescenta um fator de $7$ ;
cada múltiplo de $49 = 7^2$ acrescentará dois fatores de $7$ , dos quais um já foi contado nos fatores de $7$ ;
cada fator de $343 = 7^3$ acrescentará três fatores de $7$ , dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de $7$ e o outro nos múltiplo de $49$ ;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de $7,49,343,\ldots$ há de $1$ a $2020$ :

Sabemos que $2020 = 7 \cdot 288 + 4$ , logo há $288$ múltiplos de $7$ de $1$ a $2020$ ;
Continuando, temos $2020 = 49 \cdot 41 + 11$ , portanto, há $41$ múltiplos de $49$ no mesmo intervalo; e
Finalmente, $2020 = 343 \cdot 5 + 305$ , havendo, então, $5$ múltiplos.
Não há múltiplos de $7^4$ , pois $7^4 = 2401 > 2020$ .

Contando agora teremos:

$n = 288 + 41 + 5 = 334$ fatores de $7$ em $2020!$

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de $n$ “, ainda incluiríamos o zero, ficando com $335$ valores possíveis, sendo o $334$ o maior deles!