Definição – Mentor

Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que $A$ , $B$ e $I_n$ são duas matrizes quadradas de ordem $n$ e a matriz identidade de ordem $n$ , respectivamente. Então:

$A \cdot B = B \cdot A = I_n$

A matriz $B$ é chamada de matriz inversa de $A$ e podemos escrever $B = A^{-1}$ . Assim:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$

Com isso, podemos mostrar que a inversa de $A$ é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas $A$ e $B$ , de ordem $n$ , tais que $A \cdot X = B$ , quem é a matriz $X$ que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz $A$ , sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B$

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por $A^{-1}$ . Como $A^{-1} \cdot A = I_n$ , da definição de inversa, podemos escrever:

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B$

Assim já temos a matriz $X$ , uma vez que basta inverter a matriz $A$ , se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de $C$ , a matriz das incógnitas de $X$ e a matriz resultante de $R$ , tendo assim a equação a seguir:

$C \cdot X = R$

Mas, como já vimos:

$C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot R \Rightarrow X = C^{-1} \cdot R$

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

$X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]$

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de $C$ pela matriz coluna $R$ :

$X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]$