Uma Dúvida Interessante Sobre Conjunto-Solução

Olá pessoal, há algum tempo, recebi este comentário aqui no site. Como um dos vídeos mais vistos em nosso canal no Youtube (veja ele aqui ou no final desta postagem!) trata deste assunto, resolvi resolver e comentar um pouco sobre isto.

A dúvida é da Helena e diz o seguinte:

Se a equação X^4 - KX^2 = 0 tem solução S = \{-9;0;9\}, então:
a) K=9
b) K=81
c) K=18
d) K=0
e) K= -9

Helena

Inicialmente quero agradecer pela interação com o site, que por muito tempo ficou parado e que agora minha meta é manter funcionando. Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, vamos considerar algumas coisas.

(1) Vamos adotar que a equação tem X como incógnita, ou seja, este é o valor que queremos calcular. Isto faz sentido, porque se K fosse a variável, bastaria isolar K, fazendo:

-KX^2 = -X^4 \Rightarrow K = {X^2} \qquad \textrm{para } X \ne 0

Mas, como esta é uma equação literal do primeiro grau na incógnita K, seu conjunto-solução só poderia admitir um único valor. O que contrariaria o enunciado.

(2) O que o enunciado chama de “solução” na realidade é o conjunto-solução S; que é o conjunto cujos elementos solucionam a equação proposta, isto é, são soluções dela. Como S tem mais de um elemento e a equação está na forma de um polinômio, já sabemos que ele não pode ser do primeiro grau, já que pelo Teorema Fundamental da Álgebra uma equação polinomial de grau n tem exatamente n soluções complexas (no conjunto dos números complexos) e no máximo n soluções reais (em \mathbb{R}).

(3) Entendido isso, podemos trabalhar sobre a incógnita como sendo X. Assim, colocando X^2 em evidência, teremos:

X^2 \cdot (X^2 - K) = 0

Para que um produto de dois números seja nulo, é necessário que pelo menos um deles seja zero. Assim, sabemos que X^2 = 0, logo X = 0, caracterizando duas raízes reais e iguais a zero; ou X^2 - K = 0, daí:

X^2 = K \Rightarrow X = +\sqrt{K} \quad \textrm{ou} \quad X = -\sqrt{K}

Ou seja, temos um conjunto solução, que chamaremos de S' representado por S'= \{-\sqrt{K}; 0; +\sqrt{K}\}, que pressupõe necessariamente que K \geq 0.

Como S = S' devemos ter exatamente os mesmos elementos em ambos, ou seja \sqrt{K} = 9. Portanto, para K \geq 0, sabemos que K = 81. Teremos, então a opção B.

Assim, pra fecharmos o assunto, é necessário fazer algumas considerações importantes:

  • Verificar sempre quem é a incógnita da equação;
  • Verificar quem é o conjunto universo no qual se está trabalhando. No osso caso consideramos o conjunto dos números reais \mathbb{R}, mas poderíamos ter os naturais \mathbb{N}, inteiros \mathbb{Z}, complexos \mathbb{C}, etc;
  • É importante entender o papel do conjunto-solução em uma equação; e
  • Cuidado com equações literais.

É isso, espero ter respondido a dúvida da Helena e de outras pessoas, mesmo com um “certo” atraso.

Vídeo sobre conjunto-solução em nosso canal:

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Até!

[LSB]

Conjuntos: Intervalos de Números Reais

Nesta vídeo aula falamos sobre os intervalos de números reais e suas representações algébricas e geométricas. Abordamos intervalos com limites abertos e fechados.

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Conjuntos: Números Reais

Olá alunos, fechando a série de conjuntos numéricos, trazemos um vídeo sobre os números reais e mostramos como eles se relacionam com os demais conjuntos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.

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Conjuntos: Números Irracionais

Mais um vídeo aqui em nosso canal. Desta vez trazemos um vídeo sobre os números irracionais. Falamos um pouco sobre as dízimas não periódicas e sobre a definição de um número irracional.

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Conjuntos: Representação dos Inteiros na Reta

Olá alunos, mais um vídeo sobre conjuntos. Nesta aula, falamos sobre a representação dos inteiros na reta numerada, sobre a ideia de ordenação dos inteiros e também a respeito da ideia de oposto e simétrico de um número inteiro.

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Conjuntos: Números Inteiros

Olá alunos, mais um vídeo sobre conjuntos numéricos e, neste vídeo, damos uma breve explicação sobre os números inteiros e seus subconjuntos: inteiros positivos, inteiros não-negativos, etc.

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Conjuntos: Números Naturais

Olá alunos e assinantes. Mais um vídeo de matemática em nosso canal e, desta vez, falamos sobre o conjunto dos números naturais que é um conjunto numérico importante no estudo da introdução à teoria dos conjuntos.

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Conjuntos: Número de Elementos da União de 3 ou Mais Conjuntos

Olá alunos é assinantes, mais um vídeo de nosso canal sobre conjuntos e, neste vídeo, falamos a respeito do número de elementos da união de três ou mais conjuntos. Veja como encontrar a expressão que calcula o total de elementos deste conjunto.

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Afirmações Matemáticas Perigosas!

Introdução

A matemática é fantástica – e disso quase ninguém duvida – e permeia nossas pacatas vidas. Para estudantes – e professores – de matemática é sempre bom tomar cuidado com o que se fala e se escreve quando se trata de matemática ou corre-se o risco de criar grandes problemas futuros.

O problema com afirmações inadequadas é tão grande que, às vezes, algumas podem causar estragos no aprendizado. O que vamos fazer aqui é mostrar algumas destas e corrigi-las sempre que possível.

Menos com Menos Dá Mais!

Em primeiro lugar não é “menos com menos” seria mais adequado dizer “menos multiplicado ou dividido por menos” que ainda não está bom, mas fazer o quê? O correto seria:

“O produto ou a divisão de números reais de mesmo sinal resulta em um número real com sinal positivo.”

Exemplos ilustram bem. Vamos supor que tenhamos que calcular a seguinte multiplicação: (-2) \times (-5). Neste caso, o resultado é + 10 ou simplesmente 10. O mesmo ocorreria se fizéssemos (+2) \times (+5) = +10. Obviamente, como a própria regra diz, o mesmo vale para a divisão, isto é, (-10) \div (-2) = +5.

Mas por que precisamos explicitar a expressão “números reais”? Ora, porque o produto de dois números complexos de parte imaginária positiva pode resultar em um número real negativo, veja que se i é a unidade imaginária teremos:

i \times i = i^2 = -1, por definição da unidade imaginária

Assim, quando estamos no ensino médio, falando para alunos que já conhecem o conceito de número real, é muito importante mostrar a noção de que temos que nos limitar ao conjunto dos números reais.

Agora, vistos estes exemplos, alguém poderia pensar:

” — Tudo bem, mas: (-0) \times (+1) = +0

Essa é mole de justificar. Em primeiro lugar, o zero não tem sinal, logo (-0) é o mesmo que escrever (-1) \times 0 = 0. Da mesma maneira, +0 = (+1) \times 0 = 0.

Portanto, de fato a afirmação está correta, mas veja que, no que falamos, os números precisam ter sinal e eles devem ser iguais.

Para fechar o tópico, vamos a negativa da afirmação:

“O produto ou a divisão de números reais de sinais diferentes resulta em um número real com sinal negativo.”

Podemos escrever então que se a e b são números reais:

a \cdot b > 0, se a>0 e b>0 ou a<0 e b<0

E:

a \cdot b <0, se a>0 e b<0 ou a<0 e b>0

Vamos ao próximo tópico.

O Dobro de um Número É Par!

Também devemos ter cuidado com esta afirmação. Em primeiro lugar, o que é um número par? Se estivermos falando do contexto de uma divisão que envolve apenas números naturais (dividendo, divisor e quociente) será aquela em que o resto é zero. Assim claro que 12, por exemplo, é par, uma vez que 12 = 2 \times 6 + 0. Este conceito pode ser estendido aos números inteiros e teremos, assim, que -6 também é par. Basta ver que (- 6) = (-3) \times 2 + 0.

Portanto qual o problema com a afirmação inicial? Justamente o fato de não especificar que o número deve ser inteiro para que a ideia seja válida. A afirmação mais correta é:

“O dobro de um número inteiro qualquer é um número inteiro par.”

Em particular:

“O dobro de um número natural qualquer é um número natural par.”

De forma genérica  (e matemática):

2n, com n \in \mathbb{Z}, é par

Se você ainda não está convencido da necessidade de o número ser inteiro, eu te dou um exemplo simples: Qual o dobro de 3,5? É 7, que é um número natural ímpar.

Conjuntos Vazios Não Têm Nenhum Elemento

É comum, em Língua Portuguesa, ouvirmos as pessoas dizerem “– Não tenho nenhum dinheiro.” E você, claro, entende que a pessoa está sem dinheiro. Não há mal algum nisso, porém em matemática as coisas não funcionam bem assim…

Vamos usar a definição dada no início deste tópico:

“Conjunto vazio é aquele que não tem nenhum elemento.”

Basta ver que “nenhum elemento” é o mesmo que “ZERO elementos”. Reescrevendo teríamos:

“Conjunto vazio é aquele que não tem ZERO elementos.”

O problema é que quem não tem ZERO tem ALGUM, logo não pode ser conjunto vazio. Portanto a definição de conjunto vazio deve ser:

“Conjunto vazio é aquele que não tem elementos.”

Ou:

“Conjunto vazio é aquele tem nenhum elemento.”

Matematicamente podemos escrever por compreensão:

\emptyset = \{x \mid x \ne x\}

Como nenhum número é diferente dele próprio, este conjunto é vazio.

Conclusão

Esta é só uma prévia de afirmações matemáticas que por muitas vezes vêm incompletas ou equivocadas em livros, apostilas e afins e, várias vezes, são divulgadas na internet de maneira errada por n motivos.

Gostou desta lista? Tem algo a acrescentar? Escreve aí.

Um grande abraço e até.

[LSB]