Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja W o conjunto dos números múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que \frac{3}{5} de W, que são múltiplos de P, são ímpares; \frac{2}{5} de W são ímpares; e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um número múltiplo de:

a) 4

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de 2 ou P são infinitos. Assim, deveria vir escrito que W é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que M_P é o conjunto dos múltiplos de P e que M_2 é o conjunto dos múltiplos de 2.

Desse modo:

  • a serão os múltiplos de 2 que não são múltiplos de P;
  • b serão os múltiplos de 2 que também são múltiplos de P, ou seja, como P também é primo, serão os múltiplos de 2P; e
  • c serão os múltiplos de P que não são múltiplos de 2; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de P.

Chamando o total de elementos de x, do enunciado, tiramos as seguintes informações:

\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de P, \frac{3}{5} são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c

Da segunda linha, escrevemos: b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}  \cdot x = \frac{4}{15} x e da terceira linha:

\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x

Agora, todas as variáveis estão em função de x, voltando à primeira linha do sistema:

a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x

Então:

\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de c neste caso. Assim c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42 que é múltiplo de 7. Opção C.

Até mais!

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Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto \{1;2;3;\ldots;2020\}, qual a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?

a) \frac{40}{101}

b) \frac{153}{1010}

c) \frac{293}{1010}

d) \frac{401}{1010}

e) \frac{76}{505}

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se \textrm{mdc} (a,b) = 1. O m.d.c. entre dois números naturais vale 1 se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, 9 e 16 são primos entre si, pois veja que 9 = 3^2 e 16 = 2^4.

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por 2; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando 2020, encontramos 2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101. Ou seja, todos os múltiplos de 2, 5 ou 101 não serão primos com 2020, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que 1.

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de 2. Eles são em número M(2) = 1010. Para 5, temos M(5) = 404. Finalmente, para 101, ficamos com M(101) = 20.

Agora, ao somarmos estes valores, teremos M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434. Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de 10, por exemplo, são múltiplos de 2 e de 5 também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de 2 e de 5 são os múltiplos de 10, e são M(10) = 202. Para os múltiplos de 2 e de 101, teremos M(202) = 10; e, finalmente, os múltiplos de 5 e de 101 são em número total de M(505) = 4. Estes serão excluídos. O total é M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216.

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de 2, 5 e 101, que serão os múltiplos de 1010. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então M(1010) = 2.

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com 2020, não sendo primos com 2020. Assim, eles são 1434 - 216 + 2 = 1220 no total. Como são 2020 números no total, temos 2020 - 1220 = 800 números que são primos entre si com 2020. Agora, temos a probabilidade:

P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}

Opção A.

E aí, gostou.

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Uma Dúvida Interessante Sobre Conjunto-Solução

Olá pessoal, há algum tempo, recebi este comentário aqui no site. Como um dos vídeos mais vistos em nosso canal no Youtube (veja ele aqui ou no final desta postagem!) trata deste assunto, resolvi resolver e comentar um pouco sobre isto.

A dúvida é da Helena e diz o seguinte:

Se a equação X^4 - KX^2 = 0 tem solução S = \{-9;0;9\}, então:
a) K=9
b) K=81
c) K=18
d) K=0
e) K= -9

Helena

Inicialmente quero agradecer pela interação com o site, que por muito tempo ficou parado e que agora minha meta é manter funcionando. Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, vamos considerar algumas coisas.

(1) Vamos adotar que a equação tem X como incógnita, ou seja, este é o valor que queremos calcular. Isto faz sentido, porque se K fosse a variável, bastaria isolar K, fazendo:

-KX^2 = -X^4 \Rightarrow K = {X^2} \qquad \textrm{para } X \ne 0

Mas, como esta é uma equação literal do primeiro grau na incógnita K, seu conjunto-solução só poderia admitir um único valor. O que contrariaria o enunciado.

(2) O que o enunciado chama de “solução” na realidade é o conjunto-solução S; que é o conjunto cujos elementos solucionam a equação proposta, isto é, são soluções dela. Como S tem mais de um elemento e a equação está na forma de um polinômio, já sabemos que ele não pode ser do primeiro grau, já que pelo Teorema Fundamental da Álgebra uma equação polinomial de grau n tem exatamente n soluções complexas (no conjunto dos números complexos) e no máximo n soluções reais (em \mathbb{R}).

(3) Entendido isso, podemos trabalhar sobre a incógnita como sendo X. Assim, colocando X^2 em evidência, teremos:

X^2 \cdot (X^2 - K) = 0

Para que um produto de dois números seja nulo, é necessário que pelo menos um deles seja zero. Assim, sabemos que X^2 = 0, logo X = 0, caracterizando duas raízes reais e iguais a zero; ou X^2 - K = 0, daí:

X^2 = K \Rightarrow X = +\sqrt{K} \quad \textrm{ou} \quad X = -\sqrt{K}

Ou seja, temos um conjunto solução, que chamaremos de S' representado por S'= \{-\sqrt{K}; 0; +\sqrt{K}\}, que pressupõe necessariamente que K \geq 0.

Como S = S' devemos ter exatamente os mesmos elementos em ambos, ou seja \sqrt{K} = 9. Portanto, para K \geq 0, sabemos que K = 81. Teremos, então a opção B.

Assim, pra fecharmos o assunto, é necessário fazer algumas considerações importantes:

  • Verificar sempre quem é a incógnita da equação;
  • Verificar quem é o conjunto universo no qual se está trabalhando. No osso caso consideramos o conjunto dos números reais \mathbb{R}, mas poderíamos ter os naturais \mathbb{N}, inteiros \mathbb{Z}, complexos \mathbb{C}, etc;
  • É importante entender o papel do conjunto-solução em uma equação; e
  • Cuidado com equações literais.

É isso, espero ter respondido a dúvida da Helena e de outras pessoas, mesmo com um “certo” atraso.

Vídeo sobre conjunto-solução em nosso canal:

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Conjuntos: Intervalos de Números Reais

Nesta vídeo aula falamos sobre os intervalos de números reais e suas representações algébricas e geométricas. Abordamos intervalos com limites abertos e fechados.

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Conjuntos: Números Reais

Olá alunos, fechando a série de conjuntos numéricos, trazemos um vídeo sobre os números reais e mostramos como eles se relacionam com os demais conjuntos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.

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Conjuntos: Números Irracionais

Mais um vídeo aqui em nosso canal. Desta vez trazemos um vídeo sobre os números irracionais. Falamos um pouco sobre as dízimas não periódicas e sobre a definição de um número irracional.

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Conjuntos: Representação dos Inteiros na Reta

Olá alunos, mais um vídeo sobre conjuntos. Nesta aula, falamos sobre a representação dos inteiros na reta numerada, sobre a ideia de ordenação dos inteiros e também a respeito da ideia de oposto e simétrico de um número inteiro.

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Conjuntos: Números Inteiros

Olá alunos, mais um vídeo sobre conjuntos numéricos e, neste vídeo, damos uma breve explicação sobre os números inteiros e seus subconjuntos: inteiros positivos, inteiros não-negativos, etc.

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Conjuntos: Números Naturais

Olá alunos e assinantes. Mais um vídeo de matemática em nosso canal e, desta vez, falamos sobre o conjunto dos números naturais que é um conjunto numérico importante no estudo da introdução à teoria dos conjuntos.

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