Qual a posição do número?

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma questão trazida por uma leitora. Vamos ao enunciado:

Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?

Stephanie Wenceslau

Bom, esta é uma mera questão de permutações simples em que, uma organização do raciocínio resolve o problema. Veja que, temos cinco posições para preencher com cinco algarismos. Como eles devem estar em ordem crescente:

  • Se o primeiro algarismo for o 2 ou o 3, não importam os demais, sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4 e o seguinte for o 2, não importam os demais, sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4 e o seguinte for o 3, o próximo deve ser o 2 e não importam os demais, pois sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4, o segundo for o 3 e o terceiro for o 8 o próximo deve ser o 2 e o último o 9, havendo apenas uma possibilidade.

Até aqui temos 48 + 6 + 2 + 1 = 57 números. Portanto, o próximo número é o 58\textsuperscript{\d o}.

Espero ter ajudado!

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Análise Combinatória e Múltiplos de 3

Olá, leitores!

Hoje trazemos uma dúvida trazida por uma de nossas leitoras. Segue o enunciado:

Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

Stephanie Wenceslau

Bom, em primeiro lugar, para que um número qualquer, seja ele de 4 algarismos distintos ou não, seja múltiplo de 3 a soma de seus algarismos deve ser um número divisível por 3. Vamos separar, então em casos diferentes:

  1. Se o número é composto apenas por algarismos múltiplos de 3, certamente ele é múltiplo de 3. Para este caso, não há possibilidades, pois os algarismos devem ser distintos e só há 3 múltiplos de 3. Basta ver que temos 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 números.
  2. Como são cinco números disponíveis e usaremos quatro deles, já sabendo que não podem ser três múltiplos de 3 , teremos as seguintes possibilidades:
    1. Não usar o algarismo 3, daí a soma dos restantes é 2 + 4 + 6 + 9 = 21, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    2. Não usar o algarismo 6, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 9 = 18, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    3. Não usar o algarismo 9, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 6 = 15, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
  3. Veja que não há como usar apenas um algarismo múltiplo de 3, pois há três algarismos múltiplos de 3 dentre cinco e usaremos quatro deles.

Assim temos um total de 24 + 24 + 24 =  72 números.

Pensando em outra abordagem, podemos ver o seguinte: a soma de todos os algarismos é 2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 24. Como a soma total já é múltipla de 3, para termos uma soma total, usando apenas 4 algarismos, também múltipla de 3, só poderemos retirar um múltiplo de 3 dentre os existentes. Portanto, escolhemos primeiro um dos três múltiplos de 3 para retirar, sendo {3 \choose 1} = 3 maneiras e, os 4 algarismos restantes, formam o número de 4! maneiras possíveis. Daí, para cada algarismo retirado (que são 3 opções) temos esse total de permutações dos algarismos restantes, ou seja, 3 \times 4! = 72 números possíveis.

Espero ter respondido!

Até.

[LSB]

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EFOMM: Análise Combinatória

Olá leitores!

Hoje trago mais uma duvida enviada por um de nossos leitores. É uma questão da EFOMM, envolvendo análise combinatória ou, um problema de contagem, como gosto atualmente de dizer. O enunciado segue:

(EFOMM) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?

a) 24

b) 120

c) 480

d) 1920

e) 3840

Enviada por Artur Ardasse

Bom, em primeiro lugar é preciso saber que anagrama é qualquer combinação das letras de uma palavra. Se ela tem n letras, então teremos um total de n! anagramas. Quando há \alpha letras iguais, o total de anagramas é \frac{n!}{\alpha !}. Mas, no nosso problema, as vogais e as consoantes devem se alternar, já que não podem estar juntas.

Assim, se C representa uma das consoantes e V uma das vogais, as palavras serão da forma C_1V_1C_2V_2C_3V_3C_4V_4C_5. Como há mais vogais que consoantes, não há como começar com uma vogal (caso queira, pense no caso da palavra CARAVELA. Neste exemplo, poderíamos começar com vogal ou com consoante.).

Assim, como há 5 consoantes e 4 vogais, teremos 5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 5! \cdot 4!. Este é o total de anagramas sem considerar que há três letras “A” repetidas. Precisamos então, descontar estas repetições.

Portanto, nosso total será \frac{5! \cdot 4!}{3!} = \frac{120 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 480 anagramas. Temos assim a opção C.

Como observação final, pense em como faríamos se o enunciado pedisse anagramas em que temos vogais consecutivas ou consoantes consecutivas. Veja que agora que queremos “OU” e não “E”. Alguma coisa muda? Ou não? Pense nisso!

Até a próxima!

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