Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos $A\widehat{B}C$ , $A\widehat{C}D$ , $C\widehat{E}D$ são retos. Se $AB = 2\sqrt{3}$ m e $CE = \sqrt{3}$ m, a razão entre as áreas dos triângulos $ABC$ e $CDE$ é

a) $6$
b) $4$
c) $3$
d) $2$
e) $\sqrt{3}$

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo $B\widehat{A}C = \alpha$ . Assim teremos $B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha$ . Como $A\widehat{C}D = 90^\circ$ , teremos $E\widehat{C}D = \alpha$ e, portanto os triângulos $ABC$ e $CED$ são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

$\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

$\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4$

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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Cinco Exercícios Interessantes de Geometria

Olá alunos e amigos,

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Gerais_XXII

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Área de um Triângulo no Plano Cartesiano

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